ファインマン物理学 I 12-11

棒から ⊿θ の部分のひもに働く抗力を N とすると
力のつり合いから
N = T⊿θ
です．
摩擦係数を μ とすると
⊿T = μN = μT⊿θ
となります．
b)
dT = μTdθ
ということですから変数を分離すると
dT / T = μdθ
です．
両辺積分すると
logT = μθ + C
となりますから
T_1 の位置の θ を 0 とすると
T = T_1e^(μθ)
となります．
T_2 / T_1 = e^(μα)
です．

ファインマン物理学 I 12-8

a)
m_1 の斜面に沿って上向きの加速度を a
重力加速度を g
m_2 から m_1 へかかる抗力を N_1 とすると
m_1 の運動方程式は
m_1a = 0.5N_1 - 5m_1g / 13
12m_1g / 13 = N_1
です．
a = g / 13
となります．
b)
斜面から m_2 にかかる抗力を N_2 とすると
m_2 の運動方程式は
m_2a = F - 0.5N_1 - 0.33N_2 - 5m_2g / 13
12m_2g / 13 + N_1 = N_2
です．
F = (6 + 12×0.33)(m_1 + m_2)g / 13
です．

ファインマン物理学 I 12-7

M_2 の上向きの加速度を a
ひもから M_2 に働く張力を T
重力加速度を g とすると
M_2 の運動方程式は
M_2a = T - M_2g
です．
M_2 が上がった高さの倍だけ
M_1 は斜面に沿って下がります．
ひもから M_1 に働く張力は T / 2 です．
M_1 の運動方程式は
2M_1a = M_1gsinθ - T / 2
です．
a = (M_1 - M_2)g /(4M_1 + M_2)
T = 5M_1M_2g /(4M_1 + M_2)
です．

ファインマン物理学 I 12-6

全体の質量を m
重力加速度を g
斜面に沿って下向きの加速度を a とすると
全体の斜面に沿った方向の運動方程式は
ma = mgsinφ
ですから
a = gsinφ
です．
下向きの加速度は asinφ です．
はかりが青年を押す抗力を N とすると
青年の上下方向の運動方程式は
masinφ = mg - N
ですから
sinφ = √((mg - N)/ mg
です．

ファインマン物理学 I 12-5

B から A にかかる抗力を N とすると
A に働く力のつり合いから
F = (1 + μ)N / √2
重力加速度を g とすると
B に働く力のつり合いから
mg = (1 - μ)N / √2
ですから
F = (1 + μ)mg/(1 - μ)
です．

ファインマン物理学 I 12-4

a)
おもりの真上のひもの位置から輪までの長さを l
おもりの真上のひもの位置からおもりまでの長さを h
5 ft の長さのひもにかかる張力を T とすると
ひもから輪にかかる垂直方向の力は Th / 5
ひもから輪にかかる水平方向の力は Tl / 5 です．
0.75Th / 5 = Tl / 5
ということですから
h = 4 ft, l = 3 ft です．
おもりの真上のひもの位置から滑車までの長さが 16/3 ft となりますから
おもりから滑車までのひもの長さは 20/3 ft です．
おもりの垂直方向のつりあいから
3W / 5 + 4T / 5 = 1000
水平方向のつり合いから
4W / 5 = 3T / 5
となりますから
W = 600 g
です．
b)
T = 4W / 3 = 800 g
c)
φ = 90°
です．

ファインマン物理学 I 11-21

地球の半径を R とすると
各軸方向の成分はそれぞれ
R(sinλ_1, cosλ_1cosφ_1, cosλ_1sinφ_1)
R(sinλ_2, cosλ_2cosφ_2, cosλ_2sinφ_2)
です．
内積をとると
R^2(sinλ_1sinλ_2 + cosλ_1cosφ_1cosλ_2cosφ_2 + cosλ_1sinφ_1cosλ_2sinφ_2) = R^2(sinλ_1sinλ_2 + cosλ_1cosλ_2cos(φ_1-φ_2))
ですが
両者の間の角度を θ とするとこれは
R^2cosθ
のはずですから
cosθ = sinλ_1sinλ_2 + cosλ_1cosλ_2cos(φ_1-φ_2)
ということです．
大圏距離は
Rθ = Rcos^-1(sinλ_1sinλ_2 + cosλ_1cosλ_2cos(φ_1-φ_2))
です．

ファインマン物理学 I 11-18

CM の速さは v_CM = mv /(M + m) です．
CM 系からみた運動エネルギーは
実験室系からみた運動エネルギーから
重心の運動エネルギーを引いたものに等しいので
CM 系からみた衝突前の運動エネルギーは
mv^2 / 2 - (M + m)v_CM^2 / 2 = mMv^2 /(2(M + m))
です．
これの 1 - α^2 倍のエネルギーが
衝突により失われたということなので
重心系からみた衝突後の運動エネルギーは
mv^2 / 2 - (1 - α^2)mMv^2 /(2(M + m)) = mv^2(α^2M + m)/(2(M + m))
です．
運動エネルギーに対する式が前問から
mv^2(α^2M + m)/(2(M + m)) = mv'2 / 2 + M(V_x^2 + V_y^2)/ 2
のように変わり
V_y = m√(α^2M^2 - m^2)/(M(M + m))
となりますから
tanθ = V_y / V_x = √(α^2M^2 - m^2)/(M + m)
となります．

ファインマン物理学 I 11-17

衝突前の m の速さを v
衝突後の m の速さをv'
衝突後の M の速度の
m の衝突前の方向の成分を V_x
その垂直方向の成分を V_y とすると
運動量が保存するので
mv = MV_x
0 = mv' + MV_y
完全弾性衝突では運動エネルギーも保存するので
mv^2 / 2 = mv'2 / 2 + M(V_x^2 + V_y^2)/ 2
です．
V_x = mv / M
V_y = m / M √((M - m)/(M + m))
となりますから
tanθ = V_y / V_x = √((M - m)/(M + m))
です．

ファインマン物理学 I 11-12

a)
重心の速さは
(1×6)/(1 + 2) = 2 m/s
向きは北向きです．
実験室系からみた衝突後の 1 kg の円板の速度は
北向き成分が 2 m/s
東向き成分が 2 m/s ですから
CM 系からみた速さは 2 m/s
向きは東向きです．
したがって
CM 系からみた衝突後の 2 kg の円板の速さは 1 m/s
向きは西向きです．
実験室系からみた衝突後の 2 kg の円板の速度は
北向き成分が 2 m/s
西向き成分が 1 m/s ですから
大きさは √(2^2 + 1^2) = √5 m/s
北よりも角度 tan^-1(1 / 2) だけ西向きです．
b)
CM 系からみた衝突前の 1 kg の円板の速さは 4 m/s
向きは北向き
CM 系からみた衝突前の 2 kg の円板の速さは 2 m/s
向きは南向きです．
CM 系からみた衝突前の運動エネルギーは
1×4^2 / 2 + 2×2^2 / 2 = 12 J
です．
CM 系からみた衝突後の運動エネルギーは
1×2^2 / 2 + 2×1^2 / 2 = 3 J
です．
衝突によって失われたエネルギーは
12 - 3 = 9 J
です．
c)
CM 系からみた 1 kg の円板の運動の向きは
衝突前の北向きから衝突後の東向きに
90°変わっています．