1番
f(1)=a + b + 1 = 31・k
f(2)=4a + b + 8 = 31・l
から、0≦a≦30、0≦b≦30の制約のなかで、
3a =31(l-k) - 7
3b =31(4k-l) +4
などから、a=8, b=22 (k=1, l=2)
と、求まる。
その後、f(n)に、n = 1,2を代入した式を、f(n)からひいたものも、31の倍数でなくてはならないから、などと考え、
条件を満たすｎが、
n = 1, 2, 20, 32, 33, 51,（ 63, 64・・・・）
とでてくる。
これらの数列の間に、解が存在しないことを示す必要はある！
まだ未だに、はっきりはしませんね～・・・
2番
（１）は位置ベクトルの始点をGにすると、a + b + c = 0 （ベクトルでいって）
（２）は内積の定義を使うのありなら、|x|cosθ＝|a|だから、x・a = |a|^2
同様に、za=|a|^2
xb=yb=|b|^2
yc=|c|^2
zc=|c|^2
がもとまり、
外心を位置ベクトルでかくと、
h= Gh= GJ/2 =(x+y+z)/6
だから、(h-a)^2=(h-b)^2=(h-c)^2が言えれば良いが、
上の6個の式を使えば、
(h-a)^2 =(x+y+z)^2 + 36|a|^2 - 12a(x+y+z) = (x+y+z)^2 + 12(|a|^2 + |b|^2 +|c|^2)
などと、証明できる。
3番
y=x^2をy=1でミラー反転した曲線Dの-1＜x＜1の部分にP,Qをミラーに写した P'とQ'
があるとすると、P'QかQ'Pとy=1の交点がPR+QRが最小となるRになるから、
これを計算すると、y=1で、
x= (p+q)(pq-1)/(p^2+q^2-2)
求める重心GはPR,QRをベクトル成分計算して、
X=(p+q)(p-q)^2/{3(p^2+q^2-2)}
Y=(p^2+q^2-2)/3
Y=3/4のときに、Xの動ける範囲を求めるには？？？
(-1＜p＜1,-1＜q＜1,かつp≠qのもとで）
すぐに方針が決まらず、次に、
4番
接線の交点Pは意外と簡単な式になり、
p=(n-1)(b^n - a^n)/(b^(n-1) - a^(n-1))
これから、(p-a)/(b-a)をa/bで整理すると、
・・・＝b(n-1){1-(a/b)^n}/{1-(a/b)^(n-1)} + a/b
このままでは、a/b→１の極限操作ができないので、
”数列の和の公式で展開表示すると！”
→ b(n-1)・n/(n-1) + a/b → na + 1 !!
となった、とりあえず。
以上、だいたい一通り解いて、後は詰めの部分を仕上げていけばいいと・・・・
母校小松明峰高等学校の数学挑戦者さん！
どうか、仕上げて答案提出を！！
3番の続き、
(p+q)^2 =17/4 + 2pq
(p-q)^2 =17/4 - 2pq
の条件が求まるので、これをXに代入し、pq=xとおくと、
pq=xと、-1＜p＜1,-1＜q＜1が交点を持つ場合が存在条件になるので、
グラフ的な意味で、条件 -1＜x＜0 または、0＜x＜1 のもとで、
X=(1/54)(17-8x)√(17+8x)=f(x)
と書ける。pq=0 でも良いけど、その時はx=0のときとして、別途考えて、
f'(x)=-(68+96x)/√(17+8x)だから、
f(x)はx=-17/24で極大値(34/27)√(34/3)をとり、
その前後では上に凸のグラフで、f(-17/8)=f(17/8)=0
となる。
f(1)=5/6 ＜f(-1)=75/45＜(34/27)√(34/3)であるから、
（答） 5/6 ≦ X ≦ (34/27)√(34/3)
という数字になった・・・あまりきれいな数値じゃないので、
どうも自信ないが、
f(1)=a + b + 1 = 31・k
f(2)=4a + b + 8 = 31・l
から、0≦a≦30、0≦b≦30の制約のなかで、
3a =31(l-k) - 7
3b =31(4k-l) +4
などから、a=8, b=22 (k=1, l=2)
と、求まる。
その後、f(n)に、n = 1,2を代入した式を、f(n)からひいたものも、31の倍数でなくてはならないから、などと考え、
条件を満たすｎが、
n = 1, 2, 20, 32, 33, 51,（ 63, 64・・・・）
とでてくる。
これらの数列の間に、解が存在しないことを示す必要はある！
まだ未だに、はっきりはしませんね～・・・
2番
（１）は位置ベクトルの始点をGにすると、a + b + c = 0 （ベクトルでいって）
（２）は内積の定義を使うのありなら、|x|cosθ＝|a|だから、x・a = |a|^2
同様に、za=|a|^2
xb=yb=|b|^2
yc=|c|^2
zc=|c|^2
がもとまり、
外心を位置ベクトルでかくと、
h= Gh= GJ/2 =(x+y+z)/6
だから、(h-a)^2=(h-b)^2=(h-c)^2が言えれば良いが、
上の6個の式を使えば、
(h-a)^2 =(x+y+z)^2 + 36|a|^2 - 12a(x+y+z) = (x+y+z)^2 + 12(|a|^2 + |b|^2 +|c|^2)
などと、証明できる。
3番
y=x^2をy=1でミラー反転した曲線Dの-1＜x＜1の部分にP,Qをミラーに写した P'とQ'
があるとすると、P'QかQ'Pとy=1の交点がPR+QRが最小となるRになるから、
これを計算すると、y=1で、
x= (p+q)(pq-1)/(p^2+q^2-2)
求める重心GはPR,QRをベクトル成分計算して、
X=(p+q)(p-q)^2/{3(p^2+q^2-2)}
Y=(p^2+q^2-2)/3
Y=3/4のときに、Xの動ける範囲を求めるには？？？
(-1＜p＜1,-1＜q＜1,かつp≠qのもとで）
すぐに方針が決まらず、次に、
4番
接線の交点Pは意外と簡単な式になり、
p=(n-1)(b^n - a^n)/(b^(n-1) - a^(n-1))
これから、(p-a)/(b-a)をa/bで整理すると、
・・・＝b(n-1){1-(a/b)^n}/{1-(a/b)^(n-1)} + a/b
このままでは、a/b→１の極限操作ができないので、
”数列の和の公式で展開表示すると！”
→ b(n-1)・n/(n-1) + a/b → na + 1 !!
となった、とりあえず。
以上、だいたい一通り解いて、後は詰めの部分を仕上げていけばいいと・・・・
母校小松明峰高等学校の数学挑戦者さん！
どうか、仕上げて答案提出を！！
3番の続き、
(p+q)^2 =17/4 + 2pq
(p-q)^2 =17/4 - 2pq
の条件が求まるので、これをXに代入し、pq=xとおくと、
pq=xと、-1＜p＜1,-1＜q＜1が交点を持つ場合が存在条件になるので、
グラフ的な意味で、条件 -1＜x＜0 または、0＜x＜1 のもとで、
X=(1/54)(17-8x)√(17+8x)=f(x)
と書ける。pq=0 でも良いけど、その時はx=0のときとして、別途考えて、
f'(x)=-(68+96x)/√(17+8x)だから、
f(x)はx=-17/24で極大値(34/27)√(34/3)をとり、
その前後では上に凸のグラフで、f(-17/8)=f(17/8)=0
となる。
f(1)=5/6 ＜f(-1)=75/45＜(34/27)√(34/3)であるから、
（答） 5/6 ≦ X ≦ (34/27)√(34/3)
という数字になった・・・あまりきれいな数値じゃないので、
どうも自信ないが、
