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観念らの規定性らによる、事象らの成り立ちようらへの解枠にも絡めて、 天下経済系の可能的な成長の度合を増すべき事らを述べる

対数 関数 ➕    ;  日本医学  ;  和方🎵  ;  三石分子栄養学 ➕ 藤川徳美院長系  ;  代謝医学🎵

2024-08-15 22:09:03 | 政治・経済

 🌬️🥃🌊  Lab   BRAINS 

 

   🌬️🐋🌊  対数関数とは❔

logとは❔

計算の解き方、

グラフの書き方などを解説

2023. 2.02

 

対数とは❔

まずは、 対数  について扱う前に、

指数  について、 簡単におさらいします。

指数  では、 ある数字の右肩に

数字を書いて表します。

これは、  「   a   の   b  乗  」 と読み

 「   a  を   b  回    を  掛ける   」

 ということを意味します。

例えば、   「   5 の 3  乗  」 であれば、 次のように計算できます。

 つまり、 指数   を使うことで

 「    5 を 3  乗すると、 125  になる  」

 と言うことができます。

 

ここで、  「  5 を x  乗すると

 125 になる。   このとき、

  x の値は、 いくつだろうか❔  」

 とするのが、 対数   の考え方です。


 掛け算の反対が、 割り算になるように、

 指数の反対が、 対数 、

 と考えると、 分かりやすいでしょう。

 

 対数 の表記には、 『 log 』

 という 記号を使います。


「   5 を 3  乗すると、 125 になる   」  を  対数   で表記すると、  となります。

 

より、 対数 というものを 

➖般化して 表現していきます。


 このとき、

 a を  対数  の  底    (   てい   )

 b を  真数 

 x は、 

「   a を底とする b の 対数   」

 と それぞれ  を  呼びます。

 

対数の性質 🌙

①  底 は

 「   0 より大きく、 1 でない 実数  」
 対数の底は

 x   乗して、 真数   を表すための数字です。

 そのため、

 0 より小さい   数であった場合、

 真数 が、 実数解を取れない 

 場合があります。


例えば、

 「  ➖  2 を x  乗して、 4  になる数  」   であれば、

  x  =  2   となれます。


しかし

 「  ➖  2 を x  乗して、 5   になる数  」   を考えたとき、

  x  は、   「   a ➕ bi  」

 の形で表される、  複素数 となります。


 これは、 高校数学の範囲では、扱いません。

 

  底 が、 0 のときは、

 底 が、 0 となる 真数 が

 不定となってしまうため、

 これも、 成立しません。


 これは、 0 は、 0 以外で

 何乗しても、 0 となりますが、

 0  以外の 実数は

 何乗しても、 1  となります。


 そこから、 0 の 0   乗  は、

 0 、 もしくは、 1  とされており、

 必ずしも、  ➖つに解を決められない

 ためです。

 

 また、 底 が、 1 の場合も

 対数は、 成立しません。


 1 は、 何乗しても、 1 となるため、

 真数 は、 必ず、 1  になり、

 1  を  底  とする  1 の 対数 が

 無限に存在してしまうためです。

 

 ②  真数 が、 1  のとき、

  対数は、 必ず、 0 になる


 「  0 より大きい 1 以外の 実数  」  を

 0  乗した場合は、

 常に、 答えが、 1  となります。

 

 そのため、 真数 が、 1  であれば

 対数 は、 必ず、 0  です。

 

 ③  真数 が、 底 と 同じ

 実数のとき、 

 対数 は、 必ず 1 になる。


 底 と 真数 が、 同じ値であれば、

 底 を  1  乗した値が、  真数

  と判断できます。

 

 対数関数の公式

真数 を 掛け算で表すことで、

2つの対数に分解することができます。

とすると、なので、となります。


これを 対数の形に戻すと、

 以下の形になります。

 

【問題例1】

【解答1】
上の公式をそのまま活用しましょう。

【問題例2】

【解答2】
これも、 上の公式をそのまま活用する

ことで 計算できます。

 

真数の中に 指数 が含まれている場合に

単純化できる公式です。


先ほど同様、

とおいて  考えてみましょう。

の両辺を n  乗すると、

となります。


これを  再び  対数の形に戻すと、

以下の形になります。

 

【問題例3】

【解答3】
なので、です。

先ほどの ① の公式を使って

以下のように考えることもできます。

 

【問題例4】

【解答4】
です。
そのため、となります。

教科書や参考書によっては、

真数 が、 分数となる 対数 を

 別の公式として紹介している

 卦兌  ケーツ  :  ケース  、もあります。
 


とおくと、となります。
ここから、となり、

 xz=y、

つまりと表せる

ことが分かります。

この形を変形して得られるのが、

上の公式です。

 

これを、 それぞれにて

 対数  関数   の形のものに戻すことで、

 この公式が導き出せます。


これは、 底の変換公式 と呼ばれる

非常に有名な公式です。

 

【問題例5】

【解答5】

 

底の変換公式を使った、  この形の問題は、

定期   提須  テス  :  テスト  、

 などでも出題されやすい

 対数  における、  基本の式変形です。

これらの公式が、分からなくなった時のために、 ➖度は、 適当な数字を使って

 公式を自分で思い出せるようにしておくことも、 重要です。

 

例えば、 を

どう分解していいのかが

 分からなくなった時には、

のように、

 指数 が、 サッと計算できる

 具体的な数字をおいてしまうのです。

 

 32 は、 2  の  5  乗 なので、

であることから、

を思い出しやすくなるでしょう。

 

対数関数の 具羅  グラ  :  

グラフ  、 をの書き方 🌙

 

対数関数 の 具羅も、

 ➖次関数や 二次関数の 具羅  グラ  のように

 xy 平面 上に 書くことができます。

つまり、  の

 x  と  y   を、 それぞれを

 グラ な上に プロットすると、

  の グラフと

 x 、  y  を入れ替えたものである

 ことが、 わかります。

 

このことを意識しておきましょう。

 

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