ログを暗算してみる

　出勤中、あれこれと考え事をしていた際に


　　3^5 = 243 ≒ 256 = 2^8


というものが頭を掠めた。これは何を意味するんだろう？

と考えてみる。すると、これは2を底としたxの対数の値を

log_2(x) と 表記するとすれば、


　log_2(3) ≒ 8/5 = 1.6


と近似できるよ、という意味だった。荒っぽい近似解だが


　9 = 3^2 = 2^{1.6*2} = 2^{3.2} > 2^{3} = 8

27 = 3^3 = 2^{1.6*3} = 2^{4.8} < 2^{5} = 32

81 = 3^4 = 2^{1.6*4} = 2^{6.4} > 2^{6} = 64


と見ていくと意外に精度は良さそうだ。


　同じように、log_2(5)やlog_2(7)の値を暗算するとすれば、


5^3 = 125 ≒ 128 = 2^7
　　　　 ∴log_2(5) = 7/3 = 2.3333...

7^5 = 16807 ≒ 16384 = 2^14
　　　 ∴log_2(7) = 14/5 = 2.8

ということか。


　検証してみる。

x | log_2(x)
------------------
2 | 1.0
3 | 1.6
4 | 2.0( =2*log_2(2) )
5 | 2.3333......
6 | 2.6( =log_2(2)+log_2(3) )
7 | 2.8
8 | 3.0( =3*log_2(2) )
9 | 3.2( =2*log_2(3) )
10 | 3.3333......( =log_2(2)+log_2(5) )
11 | ?
12 | 3.6( =2*log_2(2)+log_2(3) )
13 | ?
14 | 3.8( =log_2(2)+log_2(7) )
15 | 3.9333......( =log_2(3)+log_2(5) )
16 | 4.0( =4*log_2(2) )
17 | ?
18 | 4.2( =log_2(2)+ 2*log_2(3) )
19 | ?
20 | 4.3333......( =2*log_2(2)+log_2(5) )
21 | 4.4( =log_2(3)+log_2(7) )
22 | ?
23 | ?
24 | 4.6( =3*log_2(2)+log_2(3) )
25 | 4.6666......( =2*log_2(5) )


　うむ、意外に整合性取れていて破綻していない。


　普段、どうしてもlogなんて値が出たら計算機頼りになって

しまうのだが、これぐらいの精度で良いのであれば暗算でも

それに近い近似値を得られるということか。