サウジ攻撃、イランから実施と断定 米当局者

・サウジ攻撃、イランから実施と断定 米当局者
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アメリカという国は過去から学ぶ、ということがなく、何度でも同じ間違いを繰り返す国なのでしょうか？

PS
・トランプ氏、「過去最高」のイラン制裁発表 軍事行動は否定

とりあえず戦争は避けられた模様です。

・数千億円かけたサウジ防空システムに欠陥　わずか数万円のドローン攻撃に無防備

いつの時代でも「防衛する」というのは大変な事の様です。

・軍事攻撃受ければ「全面戦争」に　イラン外相単独インタビュー

アメリカはいろいろな所に軍事力を展開しています。

そうしてトランプさんの主張は「アメリカは世界の警察ではない」でありました。

さてそうでありますれば、アメリカが率先して「全面戦争に突入」という選択肢はコスパ重視のトランプさんには無い事になります。

PS
・英仏独首脳、サウジ石油施設攻撃でイラン非難　新たな協議呼び掛け

どうやら３国はアメリカに同調した模様です。

PS
・静かな殺人…イラン大統領、米制裁を「決して許さない」

・トランプ米大統領が国連総会で演説 イラン包囲網の構築を呼びかけ

さて、状況は流動的、先行きは不透明でありますなあ、安倍さん。

PS
・「欧州は米国追随」と批判＝イラン最高指導者ハメネイ師「信頼できず」

トランプさんのやり方は「気に入らないものはまず否定する」という所から始まります。

そうやって次は「トレードに持ち込む」と。

それゆえに「だれとでも会って話す」というような、一見オープンに見える態度を示します。

しかしながらその様なやり方は「力を背景にしたごり押し」と変わらないものであります。

そうして、その様なやり方は「自分に有利になりそうな事は何でも行う」とそういう事でもあります。
↓
・トランプ氏が「大統領選に介入要求」と内部告発状

PS
・訂正：トランプ氏「制裁解除要求を拒否」、米側が提案とイラン大統領

「お前が先に手を引け」

「いや、そっちが先だ！」

国であろうが個人であろうがケンカというものはそういうものですなあ、安倍さん。

PS
・トランプ氏、ロシア外相に「介入気にしてない、米国も同じ」と発言 報道

トランプさんは本音で話してくれるので、分かりやすくて助かります。

PS
・米軍、シリア北部の撤退開始　クルド人を切り捨てる形に

アメリカと言う国のやり方が本当によくわかりますよねえ、安倍さん。

PS
・トランプ氏、トルコに「一線」警告　攻撃黙認から一転

残念ながら「わかりにくいトランプさん」になって終われたようですなあ。

PS
・米大統領「トルコ制裁に賛成」　シリア攻撃で

イランにやっている事と同じ、「マッチポンプ対応」ですか、トランプさん。

ダークマター・４０・曲率項Ωｋとガウス曲率Ｋの関係について

フリードマン方程式の曲率項Ωｋとガウス曲率Ｋの関係について。
あるいはロバートソン・ウォーカー計量に出てくる曲率ĸとの関係もありますね。
この３つの関係が当方のような初学習者にとっては少々複雑で理解しにくいのでした。

しかしながらフリードマン方程式を解けるようになったのであれば、もう少し実体的にこの関係を整理することができそうです。
以下、再度の掲示になりますがここに関係式が表示されています。

ガウス曲率Ｋを使ったフリードマン方程式
・フリードマン方程式
http://archive.fo/xhqQz
↑
上記ページ(4.7)式を参照願います。

そうしてガウス曲率Ｋとロバートソン・ウォーカー計量に出てくるĸとの関係式は
(4.8)式となるようです。
↓
ガウス曲率Ｋ=ĸ/(a^2*R0^2)、ĸ=1,0,-1
ここでR0は現在の宇宙の曲率半径でありaはおなじみのスケール因子です。

そして現在(t=0)のガウス曲率Ｋを求めるにはa=a(0)=1とした場合は
ガウス曲率Ｋ=ĸ/(R0^2)
ということになり、これはガウス曲率の定義そのものとなります。
そうして(4.8)式によって任意の時刻tでのガウス曲率Ｋが求まる事も分かります。

さてそうなりますと宇宙の観測値からどうやってR0を求めたらよいのか、というのが次のテーマとなります。


・宇宙パラメータ（http://archive.fo/mBpat）の(C.2.17)式のフリードマン方程式は上記(4.7)式と同じ形をしており、したがってこの式でのＫはガウス曲率である事が分かります。

そうしてこのページの曲率パラメータの項の(C.2.24)式が探している答えです。
Ωk0=C^2*Ｋ/(H0^2)
通常は光速Cは１として扱っていますので
Ωk0=C^2*Ｋ/(H0^2)=Ｋ/(H0^2)=ĸ/(R0^2*H0^2)
従って
R0^2=ĸ/(Ωk0*H0^2)
こうして現在の宇宙の観測値Ωk0とH0からR0が求まる事になります。

そうしてこの式は又任意の時刻でも成立しますから
R(t)^2=ĸ/(Ωk(ｔ)*H(ｔ)^2)
と表すこともできます。

この式の形から分かります様に、ある時に同じ曲率半径の値を示した２つの宇宙があったとしても、その宇宙のΩk(ｔ)とH(ｔ)の組み合わせは無数にある事になりますので、注意が必要です。

ちなみにスケール因子aと曲率半径Rは比例関係にある事は自明と言えます。
つまり、想定しているスケール因子の大きさをどこに設定したとしても、そこに適切な比例定数ｒを掛ければ曲率半径Rが求まる事になります。（注２）


さてそれでは、現在の宇宙の曲率半径R0を求めてみましょう。
R0^2=ĸ/(Ωk0*H0^2)
に対して光速Cを明示すると
R0^2=ĸ*C^2/(Ωk0*H0^2)
従って
R0=sqrt(ĸ/Ωk0)*C/H0

H0は３２６万光年ごとに７３．４Km/秒早くなるのでしたから
C/H0≒３０万/73.4*326万光年＝１３３．２億光年
そうしてĸ=1（プラス曲率宇宙）でΩk0≒ゼロならばR0≒無限大となります。
この結果はĸ=-1（マイナス曲率宇宙）でもそうなります。
ĸ＝０ならば初めからフラットな宇宙であって、曲率半径は定義できません。

さてそうなりますと問題はΩk0の値ですね。
ウィキ・平坦性問題によれば
『2005年現在の観測結果によると、Ω は 0.98 と 1.06 の間にあるとされている。』
そこで
Ωk=1-Ω
から
"-0.06<Ωk<0.02
となり
Ωk=-0.06のプラス曲率宇宙では
R0=sqrt(1/0.06)*C/H0=５４３．８億光年がプラス側の最少曲率半径となり、（注１）
そうしてR0=∞のフラットな宇宙をはさんで
Ωk=0.02のマイナス曲率宇宙では
R0=sqrt(1/0.02)*C/H0=９４１．９億光年がマイナス側の最少曲率半径となります。


さてそれで、任意の過去の時点ｔでの曲率半径R(t)はその時のスケール因子a(t)を使って
R(ｔ)=R0*(a(t)/a(0))となり
通常はa(0)=1としますので
R(ｔ)=R0*a(t)となります。

そうしてスケール因子aの値を指定することでH(t)は
H(t)^2=H0^2*(Ωm0/a^3+Ωk0/a^2+ΩΛ0）
から直接計算できます。

R(t)^2=ĸ/(Ωk(ｔ)*H(ｔ)^2)
でしたのでΩk(ｔ)は
Ωk(ｔ)=ĸ/(R(t)^2*H(ｔ)^2)
"=ĸ/((R0*a)^2*(H0^2*(Ωm0/a^3+Ωk0/a^2+ΩΛ0)))
という式が成立します。

ここでR0^2を左辺に移して
Ωk(ｔ)*R0^2=（ĸ)/((a)^2*(H0^2*(Ωm0/a^3+Ωk0/a^2+ΩΛ0)))
"=（ĸ)/(H0^2*(Ωm0/a+Ωk0+ΩΛ0*a^2))
"=（ĸ)/(ά(t)^２)
と変形しますと左辺はΩk(ｔ)に定数R0^2が掛けられた値となります。
しかしながら、ある宇宙でのΩk(ｔ)の時系列の推移を知るにはこれで十分であると思われます。

我々がフリードマン方程式をいろいろな初期条件で解く場合にはH0=1,a(0)=1とスケール化しますので、いろいろな宇宙の間での曲率半径Rの比較、というのは難しい事になります。
しかしながら、一つの宇宙を選んでその条件での曲率項Ωk(ｔ)の推移は追う事ができます。

それはH0=1,a(0)=1とスケール化した場合
Ωk(0)*R0^2=1
の関係が常に成立しますので、この関係をつかってR0の値を決めることができ、そのR0をつかってΩk(ｔ)の推移を知ることが出来る、という事になります。
↑
H0=1=ά(0)/a(0)=ά(0)/1
で
Ωk(0)*R0^2=（ĸ)/(ά(0)^２)
"=（ĸ)/(1)^2=1
従って
R0^2=1/Ωk(0)
これを使って
Ωk(ｔ)=(1/R0^2)*(ĸ)/(ά(t)^２)
"=Ωk(0)*(ĸ)/(ά(t)^２)
"=Ωk(0)*(ĸ)/(H0^2*(Ωm0/a+Ωk0+ΩΛ0*a^2))

こうして初期条件H0=1,a(0)=1
それからΩm0、ΩΛ0の値を決めて
Ωk0=1-Ωm0-ΩΛ0によってΩk0を決める事で
その宇宙のΩk(ｔ)の推移が分かる、という事になります。

それからΩk(ｔ)の式から、宇宙の歴史のどの時点であってもΩkが厳密にゼロであったとすると、その宇宙は始まりの時点からΩkはゼロであった、という事になります。
但し、宇宙の始まりの時点で少しでもゼロより違う値を持っていた場合は、その宇宙はそちらの方向に確実に進化、発展してゆく、という事も分かります。
その事を前述のΩk=-0.06のプラス曲率宇宙で確認してみましょう。

Ωk=-0.06のプラス曲率宇宙では
R0=sqrt(1/0.06)*C/H0=５４３．８億光年がプラス側への曲率半径です。
↓
初期条件
H0=1,a(0)=1
Ωm0=0.3、ΩΛ0=0.76
Ωk0=1-Ωm0-ΩΛ0=-0.06
ĸ=1
入力する式は
Ωk(ｔ)=Ωk(0)*(ĸ)/(H0^2*(Ωm0/a+Ωk0+ΩΛ0*a^2))
↓
Ωk(ｔ)=
-0.06*1/(1*(0.3/x+(1-0.3-0.76)+0.76x^2))
実行アドレス

評価したい式だけ入力すると、ウルフラムはいろいろとやってくれます。
今回の例では一番下に極限、下から２番目に極小値を表示してくれます。
（そのように出力されない時は、もう一度リターンしてみてください。）
極限値からスケール因子aが∞でΩkがゼロになる事、それから
極小値からaが0.582227の時に
Ωkが最小値-0.084164となる事が分かります。
それ以外のΩkの値はグラフにカーソルを合わせて読み取って下さい。

a(0)=1の時にΩk0=-0.06になっていることも確かめておきましょう。
入力文
『-0.06=-0.06*1/(1*(0.3/x+(1-0.3-0.76)+0.76x^2))の根』
実行アドレス

そうしてこれはおまけですが、最終散乱面でのΩkの値も見ておきましょうか。
今から１３７億年ほど前、a=0.001の頃の状況です。
Ωk(-137億年)=-0.06*1/(1*(0.3/0.001+(1-0.3-0.76)+0.76*0.001^2))
"≒-0.0002
確かに現在よりはΩkの値は相当に小さかった、そうしてその値がグラフに示されたカーブに従って増加し現時点での値-0.06となりそれから宇宙が膨張するにしたがって漸近的にゼロに向かって近づいて行くのであります。（注３）

注１
観測可能な宇宙の大きさ・・・４５０億光年
最小値でも曲率半径（４次元球の半径）の方が若干観測可能な宇宙の半径を上回る様で、一応はこの話は整合的に見えます。

注２
初期条件H0=1,a(0)=1、ĸ=1で扱う場合は
比例定数r=1/sqrt(Ωk0)
となる模様です。
導出は皆さんにおまかせします。
（　R(t)^2=ĸ/(Ωk(ｔ)*H(ｔ)^2)にΩk(ｔ)とH(ｔ)^2の展開式を代入するだけです。）

注３
a=0.001の頃は確かにΩk≒-0.0002で現在よりはΩkは小さな値を示しますが、同時にスケール因子が１０００分の１になっていますから必然的にその時の曲率半径Rも現在の値の１０００分の１になる事には注意が必要です。
つまりΩkの値が小さければそれがすぐにガウス曲率Ｋが小さい（＝曲率半径Rが大きい）という事にはなっていないのであります。


・ダークマター・ホーキングさんが考えたこと　一覧＜－－リンク


http://archive.fo/SNm2i
http://archive.fo/0G6H0