数学

数学全般

広告

※このエリアは、60日間投稿が無い場合に表示されます。記事を投稿すると、表示されなくなります。

東大数学 前期(2009)_(5)

2009-05-15 06:05:00 | 東大の数学
<⑤の問題>
(1) 実数 x が -1 < x < 1、x ≠ 0 をみたすとき、次の不等式を示せ。 (1-x)1-1/x < (1+x)1/x
(2) 次の不等式を示せ。 0.9999101 < 0.99 < 0.9999100


<解答>
(1)
両辺を対数をとる
(1-1/x)log(1-x) < 1/x・log(1+x) ・・・①を示せばよい。

0 < x < 1 では、⇔ (x-1)log(1-x) < log(1+x)
-1 < x < 0 では、⇔ (x-1)log(1-x) > log(1+x)

f(x) = log(1+x) - (x-1)log(1-x)
f'(x) = 1/(x+1) - log(1-x) - (1-x)・(-1)/(1-x)
f'(x) = 1/(x+1) - log(1-x) - 1
f''(x) = -1/(x+1)2 - (-1)/(1-x) = x(x+3)/(1+x)2(1-x)

f''(x) -1 ... (-) ... 0 ... (+) ... 1
f'(0) = 0 より f'(x) ≧ 0 (-1 < x < 1)
f(0) = 0 より、0 < x < 1 で f(x) > 0, -1 < x < 0 でf(x) < 0 となり、題意は示された。

(2)
(1-x)1-1/x < (1+x)1/x ・・・②
②に x = 0.01 を代入、0.99-0.99 < 1.01100
両辺を0.99100倍して、0.99 < 0.9999100
②に x = -0.01 を代入、1.01101 < 0.99-100
両辺を0.99101倍して、0.9999101 < 0.99


<解説>
不等式の証明には、簡単な式では、式変形や公式を使用して証明します。
複雑な式では、差または商より微分して増減表より証明します。
ジャンル:
ウェブログ
コメント   この記事についてブログを書く
この記事をはてなブックマークに追加
« 東大数学 前期(2009)_(4) | トップ | 数学の家庭教師 »
最近の画像もっと見る

コメントを投稿

東大の数学」カテゴリの最新記事

関連するみんなの記事