大学に入学して、数学Ⅲの微分積分の勉強をしていない学生が、必要があって、数学Ⅲの微分積分の勉強をしている学生がいることを聞いたことがあります。
そういう方にアドバイスをしたいです。
１） 数学Ⅱの微分積分（ｎ乗の整式）の復習をすること。
２） 数学Ⅱと数学Ⅲの違いは、関数が三角関数、指数・対数関数となること。
３） 数学Ⅱと数学Ⅲの違いは、２つの関数 f(x), g(x) の積、商の微分積分をすること。
４） 数学Ⅱと数学Ⅲの違いは、y = f(x) を x = x(t), y = y(t) とパラメーターの微分積分をすること。
この４つのポイント押さえて学習するとよいと思います。
来月の４月から消費税増税になります。
現在の５％の消費税の金額が、y 円ならば、消費税抜きは、y ÷ 1.05 = y ÷ (105 / 100) = y × (100 / 105)
４月からの８％の消費税の金額は、y × (100 / 105) × 1.08 = y × (100 / 105) × (108 / 100) = y × (108 / 105)
= y × {(105 + 3) / 105} = y × (1 + 3 / 105)
実際に、５％の表示価格から８％の表示価格の差額は、y × (1 + 3 / 105) - y = 3y / 105 = y / 35
５％の表示価格から８％の表示価格の差額を、x 円とします。
y / 35 = x ⇔ y = 35x
y 円が3500 ～ 7000円 では、x 円が100 ～ 200円増しです。
y 円が35000 ～ 70000円は、x 円が1000～ 2000円増しです。
今年の大学入試の数学は、旧課程です。
来年からは、新課程の大学入試になります。
数学Ⅰ・Aでは、整数の性質（初等整数論の一部）が、学習内容になります。 合同式が正式に学習内容になります。
数学Ⅲでは、行列がなくなりますが、複素数のド・モアブルの定理（複素解析学の一部）が、学習内容になります。
旧課程の受験生は、新しく学習する内容になるので、負担が大きいですね。
明けましておめでとうございます。
去年の１２月上旬から急に忙しくなり、更新が遅れています。
今年も更新は遅れますが、ブログをよろしくお願い致します。
※時間がある時に、コメントは読んでいますよ。
自然数 n = 2x + 1 (x ≧ 0: x ∈ Z)
自然数 2x + 1 が奇素数なのかどうかを判定します。
自然数 2x + 1 が合成数ならば、２つの奇数の積になっているので、
2s + 1, 2t + 1 (s ≧ 0, t ≧ 0: s, t ∈ Z) を考えると
2x + 1 = (2s + 1)(2t + 1) とおくと
2x + 1 が奇素数ならば、(s, t) = (x, 0), (0, x) の整数解をもつ。
2x + 1 が合成数ならば、(s, t) = (x, 0), (0, x) 以外の整数解をもつ。
そうすると、整数解が「2つの場合」と「２つ以上の場合」の格子点の問題と命題を置きかえることが出来る。
2x + 1 = 4st + 2(s + t) + 1
⇔ x = 2st + s + t
⇔ (2t + 1)s = x - t
⇔ s = (x - t)/(2t + 1)
s は整数と、s = 0, s = x 以外に整数解をもつためには、1 ≦ s ≦ x - 1 の範囲を考える
よって、 1 ≦ (x - t)/(2t + 1) であるので
分子 = x - t = a
分母 = 2t + 1 = b
1 ≦ a / b ⇔ b ≦ a
b ≦ a の条件で、t = 1, 2, 3, ..... , x - 1 までに、(x - t)/(2t + 1) に代入する
それが整数になるならば、x は合成数である。
整数がなければ、x は奇素数である。
※1 ≦ t ≦ x - 1 に対して、(x - t) と (2t + 1) が互いに素であればよいが、その条件式が見つからない。
これを、ExcelのVBA で素数判定するプログラムで動かすと、素数 (2x + 1) の判定が出来る。
＜具体例＞
合成数 15 = 3・5
2x + 1 = 15 ⇔ x = 7
t = 1 のとき、x - t = 7 - 1 = 6, 2t + 1 = 2 + 1 = 3, 2 ≦ 6 なので、a / b = 6 / 3 = 2
よって、s = 2より
(s, t) = (2, 1) なので、2s + 1 = 4 + 1 = 5, 2t + 1 = 2 + 1 = 3
奇素数 17
2x + 1 = 17 ⇔ x = 8
t = 1 のとき、x - t = 8 - 1 = 7, 2t + 1 = 2 + 1 = 3, 3 ≦ 7 なので、a / b = 7 / 3
t = 2 のとき、x - t = 8 - 2 = 6, 2t + 1 = 4 + 1 = 5, 5 ≦ 6 なので、a / b = 6 / 5
t = 3 のとき、x - t = 8 - 3 = 5, 2t + 1 = 6 + 1 = 7, 7 ≧ 5 なので、s ＜ 1 より
x = 8 のとき、奇素数である。
＜個人的な感想＞
奇素数を格子点の問題に置き換えることが出来る点が、面白いと思う。
(x - t) と (2t + 1) が互いに素の条件式が見つかると面白いと思う。
ただ、メルセンヌ数を判定するのには、向いていないと思う。
また、私のような発想は過去に誰かがしていると思うが、私の知る範囲では見たことはないです。
自然数 2x + 1 が奇素数なのかどうかを判定します。
自然数 2x + 1 が合成数ならば、２つの奇数の積になっているので、
2s + 1, 2t + 1 (s ≧ 0, t ≧ 0: s, t ∈ Z) を考えると
2x + 1 = (2s + 1)(2t + 1) とおくと
2x + 1 が奇素数ならば、(s, t) = (x, 0), (0, x) の整数解をもつ。
2x + 1 が合成数ならば、(s, t) = (x, 0), (0, x) 以外の整数解をもつ。
そうすると、整数解が「2つの場合」と「２つ以上の場合」の格子点の問題と命題を置きかえることが出来る。
2x + 1 = 4st + 2(s + t) + 1
⇔ x = 2st + s + t
⇔ (2t + 1)s = x - t
⇔ s = (x - t)/(2t + 1)
s は整数と、s = 0, s = x 以外に整数解をもつためには、1 ≦ s ≦ x - 1 の範囲を考える
よって、 1 ≦ (x - t)/(2t + 1) であるので
分子 = x - t = a
分母 = 2t + 1 = b
1 ≦ a / b ⇔ b ≦ a
b ≦ a の条件で、t = 1, 2, 3, ..... , x - 1 までに、(x - t)/(2t + 1) に代入する
それが整数になるならば、x は合成数である。
整数がなければ、x は奇素数である。
※1 ≦ t ≦ x - 1 に対して、(x - t) と (2t + 1) が互いに素であればよいが、その条件式が見つからない。
これを、ExcelのVBA で素数判定するプログラムで動かすと、素数 (2x + 1) の判定が出来る。
＜具体例＞
合成数 15 = 3・5
2x + 1 = 15 ⇔ x = 7
t = 1 のとき、x - t = 7 - 1 = 6, 2t + 1 = 2 + 1 = 3, 2 ≦ 6 なので、a / b = 6 / 3 = 2
よって、s = 2より
(s, t) = (2, 1) なので、2s + 1 = 4 + 1 = 5, 2t + 1 = 2 + 1 = 3
奇素数 17
2x + 1 = 17 ⇔ x = 8
t = 1 のとき、x - t = 8 - 1 = 7, 2t + 1 = 2 + 1 = 3, 3 ≦ 7 なので、a / b = 7 / 3
t = 2 のとき、x - t = 8 - 2 = 6, 2t + 1 = 4 + 1 = 5, 5 ≦ 6 なので、a / b = 6 / 5
t = 3 のとき、x - t = 8 - 3 = 5, 2t + 1 = 6 + 1 = 7, 7 ≧ 5 なので、s ＜ 1 より
x = 8 のとき、奇素数である。
＜個人的な感想＞
奇素数を格子点の問題に置き換えることが出来る点が、面白いと思う。
(x - t) と (2t + 1) が互いに素の条件式が見つかると面白いと思う。
ただ、メルセンヌ数を判定するのには、向いていないと思う。
また、私のような発想は過去に誰かがしていると思うが、私の知る範囲では見たことはないです。
相棒で、数学をテーマにした架空の事件でした。
でも、どこが架空で、どこが本当なのか？
真実と架空が少し混ざっている内容でした。
証明に「背理法」はあります。
しかし、背理法の使い方が間違っています。
ファーガスの定理は、架空の定理なので、存在はしません。
しかし、ミレニアム問題が７つあり、賞金１００ドルが懸ってあることは、本当です。
リーマン予想が約150年間が未解決問題というのは、本当です。
また、リーマン予想と素数が関係がしていることは、本当です。
大きな素数、πなどの無理数が、暗証鍵に使われていることは、本当です。
「みんなの数学」という雑誌はありません。
「数学セミナー」という雑誌は本当にあります。
ファイルの一番右にファーガスの定理がありませんでした。
右京さんが左からファイルを読みました。
ファーガスの定理以外は、本当にある数学の分野です。
「ABC予想」も本当に、最近の京大の教授が予想しまして、現在、検証されている予想です。
教授の部屋に行って、透明なガラスにグラフが書かれていました。
あのグラフは、楕円関数論に出てくるグラフです。
素数が、数学の元素と言われていることは、本当です。
数学者で素数の研究をしているのは、本当ですが、色々な分野との関わりの中で研究していので、素数を単独で研究はしていないと思います。
普通に相棒を見たかったですが、至る所に数学関係の話があるので、奇妙な気分でドラマを見ました。
でも、どこが架空で、どこが本当なのか？
真実と架空が少し混ざっている内容でした。
証明に「背理法」はあります。
しかし、背理法の使い方が間違っています。
ファーガスの定理は、架空の定理なので、存在はしません。
しかし、ミレニアム問題が７つあり、賞金１００ドルが懸ってあることは、本当です。
リーマン予想が約150年間が未解決問題というのは、本当です。
また、リーマン予想と素数が関係がしていることは、本当です。
大きな素数、πなどの無理数が、暗証鍵に使われていることは、本当です。
「みんなの数学」という雑誌はありません。
「数学セミナー」という雑誌は本当にあります。
ファイルの一番右にファーガスの定理がありませんでした。
右京さんが左からファイルを読みました。
ファーガスの定理以外は、本当にある数学の分野です。
「ABC予想」も本当に、最近の京大の教授が予想しまして、現在、検証されている予想です。
教授の部屋に行って、透明なガラスにグラフが書かれていました。
あのグラフは、楕円関数論に出てくるグラフです。
素数が、数学の元素と言われていることは、本当です。
数学者で素数の研究をしているのは、本当ですが、色々な分野との関わりの中で研究していので、素数を単独で研究はしていないと思います。
普通に相棒を見たかったですが、至る所に数学関係の話があるので、奇妙な気分でドラマを見ました。
リーマン・ゼータ関数の個人的な研究
ζ(s) = Σ [n = 1 → ∞] n-s (s ∈ C) 以下[n = 1 → ∞] は省略
ζ(s) = Σ n-s (s ∈ C)
s ∈ C より s = a + ib とおくと
n-a - ib = e(-a - ib)log(n) = e-alog(n)・e-i・blog(n)
オイラーの公式 eix = cos(x) + i・sin(x) より
= e-alog(n)・{cos(-blog(n)) + i・sin(-blog(n))}
= e-alog(n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))} ・・・①
または、
s ∈ C より s = r(cos(α) + i・sin(α)) とおくと
n-(r(cos(α) + i・sin(α))log(n) = e-rcos(α)log(n)・e-i・rsin(α)log(n)
= e-rcos(α)log(n)・{cos(-rsin(α)log(n)) + i・sin(-rsin(α)log(n))}
= e-rcos(α)log(n)・{cos(rsin(α)log(n)) - i・sin(rsin(α)log(n))}
リーマン予想だと s = 1/2 + ib なので、①より
ζ(1/2 + ib) = Σe-(1/2)・log(n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))}
= Σe-log(√n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))}
ζ(1/2 + ib) = Σe-log(√n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))} = 0 となるのが予想ですね。
また、a = 2, b = 0 のとき
ζ(2) = Σe-2・log(n) = π2/6
研究はここまで。
ζ(s) = Σ [n = 1 → ∞] n-s (s ∈ C) 以下[n = 1 → ∞] は省略
ζ(s) = Σ n-s (s ∈ C)
s ∈ C より s = a + ib とおくと
n-a - ib = e(-a - ib)log(n) = e-alog(n)・e-i・blog(n)
オイラーの公式 eix = cos(x) + i・sin(x) より
= e-alog(n)・{cos(-blog(n)) + i・sin(-blog(n))}
= e-alog(n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))} ・・・①
または、
s ∈ C より s = r(cos(α) + i・sin(α)) とおくと
n-(r(cos(α) + i・sin(α))log(n) = e-rcos(α)log(n)・e-i・rsin(α)log(n)
= e-rcos(α)log(n)・{cos(-rsin(α)log(n)) + i・sin(-rsin(α)log(n))}
= e-rcos(α)log(n)・{cos(rsin(α)log(n)) - i・sin(rsin(α)log(n))}
リーマン予想だと s = 1/2 + ib なので、①より
ζ(1/2 + ib) = Σe-(1/2)・log(n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))}
= Σe-log(√n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))}
ζ(1/2 + ib) = Σe-log(√n)・{cos(blog(n) - i・sin(blog(n))} = 0 となるのが予想ですね。
また、a = 2, b = 0 のとき
ζ(2) = Σe-2・log(n) = π2/6
研究はここまで。
【数学者】
「仕事をしているのに、ハタ目からはボーッとしてるようにしか見られない」（某国立大学数学科准教授Sさん）というのは数学者共通の悩み。
やはり素数が好きな人は多くて、
「傘立てや居酒屋の下駄箱は素数の番号を選ぶ」（同Oさん）、
「車で走ってるとき国道の番号が素数だとうれしい」（Sさん）とか。
「紙ナプキンや箸袋に思いついた数式を書いたりすることがある。なので、胸ポケットには常にペンが入っている」（同）ってのは、わからなくはないが、
「酒の席でルベーグとフーリエ（ともに有名な数学者）のどっちが偉いかという話で盛り上がる」（Oさん）となると一般人には理解不能だ。
Yahooより
「仕事をしているのに、ハタ目からはボーッとしてるようにしか見られない」（某国立大学数学科准教授Sさん）というのは数学者共通の悩み。
やはり素数が好きな人は多くて、
「傘立てや居酒屋の下駄箱は素数の番号を選ぶ」（同Oさん）、
「車で走ってるとき国道の番号が素数だとうれしい」（Sさん）とか。
「紙ナプキンや箸袋に思いついた数式を書いたりすることがある。なので、胸ポケットには常にペンが入っている」（同）ってのは、わからなくはないが、
「酒の席でルベーグとフーリエ（ともに有名な数学者）のどっちが偉いかという話で盛り上がる」（Oさん）となると一般人には理解不能だ。
Yahooより
最近は、大学１、２年で学ぶ、微分積分学、線形代数学、集合・位相、複素解析学の本を読んでいます。
定義、定理は分かるけど、定理の証明の理解が難しい印象があります。
パート先に早く行って、約３０分の時間があります。
その合間に、数学の本を読んでいます。
定義、定理は分かるけど、定理の証明の理解が難しい印象があります。
パート先に早く行って、約３０分の時間があります。
その合間に、数学の本を読んでいます。
今日は、大学への数学の５月号を購入しました。
毎年、４月号と５月号は、大学入試の問題が掲載されているので、毎年購入しています。
高校の数学の微分積分学は、１変数の微分積分学です。
特に、積分学はリーマン積分です。
リーマン積分は、17世紀の数学です。
高校の数学は、約400年前の数学の偉人さんによって考えられた数学を学んでいます。
大学入試の問題は、大学で学ぶ内容を高校生でも分かるように誘導して出題する傾向もあるので、受験生は新しい内容を見るので、本番では困りますよね。
去年から新課程で教えている先生、学んでいる生徒では、確率・統計を重視している内容に変更がされています。
しかし、大学生向けの確率・統計の入門書を読むとほとんど、同じ内容になっています。
おそらく、社会の経済などを、統計的な見方が養っていると実社会に出ると役に立つと考えられると思います。
また、高校の数学から行列がなくなるので、大学の教授は、線形代数学の授業の講義を考えなければならないので、大変になると思います。
※高校では２×２の行列、大学ではｎ×ｎの行列（線形代数学）を扱うという意味です。
いつも、新カリキュラムに変わるとき、「行列」と「複素数」は、高校なのか、大学なのかは、移り変わりがありますね。
毎年、４月号と５月号は、大学入試の問題が掲載されているので、毎年購入しています。
高校の数学の微分積分学は、１変数の微分積分学です。
特に、積分学はリーマン積分です。
リーマン積分は、17世紀の数学です。
高校の数学は、約400年前の数学の偉人さんによって考えられた数学を学んでいます。
大学入試の問題は、大学で学ぶ内容を高校生でも分かるように誘導して出題する傾向もあるので、受験生は新しい内容を見るので、本番では困りますよね。
去年から新課程で教えている先生、学んでいる生徒では、確率・統計を重視している内容に変更がされています。
しかし、大学生向けの確率・統計の入門書を読むとほとんど、同じ内容になっています。
おそらく、社会の経済などを、統計的な見方が養っていると実社会に出ると役に立つと考えられると思います。
また、高校の数学から行列がなくなるので、大学の教授は、線形代数学の授業の講義を考えなければならないので、大変になると思います。
※高校では２×２の行列、大学ではｎ×ｎの行列（線形代数学）を扱うという意味です。
いつも、新カリキュラムに変わるとき、「行列」と「複素数」は、高校なのか、大学なのかは、移り変わりがありますね。
2013年3月号に、「2012年12月のエレガントな解答をもとむ」の「出題１」を正解しました。
私は、解法（C)の空間座標の内積を使った解法です。
解答者の１人だったので、嬉しいです。
私は、解法（C)の空間座標の内積を使った解法です。
解答者の１人だったので、嬉しいです。
読売新聞のサイトより、私立大学の問題と解答が掲載されています。
同志社大学の理系数学の問題を解いて見ました。
[１]は、確率の問題。 確率は苦手なのでパスしました。
[２]は、ベクトルと「点と直線の距離」の問題。 標準的な問題でした。 (3) は間違えました。
[３]は、積分の回転体の体積と、極限の問題。 微分積分学としては、標準的な問題でした。 (4) の極限の求め方が分からず、ロピタルの定理を使いました。 それで、全問正解でした。
[４」は、パラメータ変数の微分と積分の問題です。 計算量が多くて計算ミスがありました。
解いてみて標準的な問題で面白いと思います。
同志社大学の理系数学の問題を解いて見ました。
[１]は、確率の問題。 確率は苦手なのでパスしました。
[２]は、ベクトルと「点と直線の距離」の問題。 標準的な問題でした。 (3) は間違えました。
[３]は、積分の回転体の体積と、極限の問題。 微分積分学としては、標準的な問題でした。 (4) の極限の求め方が分からず、ロピタルの定理を使いました。 それで、全問正解でした。
[４」は、パラメータ変数の微分と積分の問題です。 計算量が多くて計算ミスがありました。
解いてみて標準的な問題で面白いと思います。