Jacobi の恒等式と反対称性。(2)

Jacobiの恒等式と反対称性の問題は，ちょっと勘違いしていた。

次のような設定に変更する。

x や y はベクトルだと思ってもらいたい。

ベクトル x と y に対して定まる第3のベクトルを [x,y] という記号で表すことにする。

そして，

[x+y,z]=[x,z]+[y,z]

と

[x,y+z]=[x,y]+[x,z]

が任意の x, y, z に対して成り立つとする。

さらに，次の2つの性質を考える。

（性質P）すべての x に対して [x,x]=0.

（性質Q）すべての x，y に対して [y,x]=-[x,y].


【解ける問題1.】性質 P が成り立つことと，性質 Q が成り立つこととは同値であることを示せ。

この問題により，性質 P と性質 Q のいずれを仮定しても同じことになる。
以下ではこれらの性質が成り立つという設定を追加しておく。

【解ける問題2.】任意の x に対して [x,0]=0 であることを示せ。

【解ける問題3.】任意の x と y に対して [-x,y]=-[x,y] であることを示せ。

（解ける問題の解答は本記事の末尾につけてある。）

さて，目指すはこれらの性質だけから次の Jacobi の恒等式が導けるか，ということである。


【解けるかどうかわからない問題】任意の x，y，z に対して

[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0

が成り立つか。


これに関して，次のような部分的な結果を得た。

【解ける問題4.】任意の x, y に対して次が成り立つ。

[x,[y,y]]+[y,[y,x]]+[y,[x,y]]=0.


これ以上のことは今のところ僕にはわからない。





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【解ける問題1の解答】

性質 P が成り立つならば，

0=[x+y,x+y]=[x,x+y]+[y,x+y]=[x,x]+[x,y]+[y,x]+[y,y]=[x,y]+[y,x].

逆に性質 Q が成り立つならば，[y,x]=-[x,y] において，y に x を代入すれば [x,x]=-[x,x] となるから，2[x,x]=0，すなわち [x,x]=0 がわかる。


【解ける問題2の解答】

0+0=0 であることに着目すればよい。

[x,0]=[x,0+0]=[x,0]+[x,0]=2[x,0] だから，[x,0]=0.


【解ける問題3の解答】

さきほどの結果を使えば [0,x]=-[x,0]=0 である。

0+0=0 なので，0=[0,y]=[x+(-x),y]=[x,y]+[-x,y].

なお，[y,-x]=-[-x,y]=-(-[x,y])=[x,y]=-[y,x] であるから，[y,-x]=-[y,x] も成り立つ。


【解ける問題4の解答】

[y,y]=0 なので [x,[y,y]]=0 である。

また，さきほどの解答で述べたことにより，

[y,[y,x]]=[y,-[x,y]]=-[y,[x,y]]

であるから，[y,[y,x]]+[y,[x,y]]=0 である。