昨晩雲間に見かけた月がかなり満月に近かったので，もしやと思っていたのだが，今日は月齢が17らしいので，やはりほぼ満月だったようだ。
S○nyが開発している，巻き取り可能なぺらぺらな感じの有機ELディスプレイのデモ動画を観たのだが，いや～，すごい！
映像を写したスクリーンが巻き取られているようにも見えるが，映像が「向こう側」に折れ曲がるのは，スクリーンではない証拠である。
これなら，壁掛けテレビを越えて『壁紙テレビ』の実現も夢ではないだろう。
しかも，服や鞄をモニターにできてしまうかもしれない。
あ，洗濯したり雨に濡らしたりと，何かと水気が付き物だから，電気製品である以上，そういう用途は難しいかな？
それにしても，ほんと，ドラ○もんの世界が近づいている気がする。
あと91年も経てば22世紀だから，当たり前か。
映像を写したスクリーンが巻き取られているようにも見えるが，映像が「向こう側」に折れ曲がるのは，スクリーンではない証拠である。
これなら，壁掛けテレビを越えて『壁紙テレビ』の実現も夢ではないだろう。
しかも，服や鞄をモニターにできてしまうかもしれない。
あ，洗濯したり雨に濡らしたりと，何かと水気が付き物だから，電気製品である以上，そういう用途は難しいかな？
それにしても，ほんと，ドラ○もんの世界が近づいている気がする。
あと91年も経てば22世紀だから，当たり前か。
いつもお世話になっている Wikipedia.
確か，空間曲線の単位接線ベクトル，単位法線ベクトル，単位従法線ベクトルが作る局所座標系のアニメーションが Frenet-Serret の公式の解説に載っていたなと，記憶を頼りに検索してみたところ，確かにあった。
References に原論文へのリンクがあったりしないかな，と見ていたら，期待通りあったので見に行った。
Gallica という，19世紀頃の論文を電子データ化したものを一般公開してくれている，素晴らしいサイトがあるのだが，ちょうどそこに収録されていた。
ところが，実に残念なことに Serret の原論文へのリンクが間違っていた。
Euler のB関数やΓ関数に関する Serret の1843年の論文にリンクされてしまっていたのである。
Gallica で検索し直して1851年の正しい原論文を見つけた。
Wikipedia のリンク貼り間違いを修正できないもんかな，と考え，気軽に Edit というリンクをクリックしたら，編集モードの画面が開いたので，リンク先のURLを正しいものに変更しておいた。
そしたらちゃんと修正が反映されていたのである！
うーむ，Wikipedia というのは「オープンな」ネット百科事典，だと思っていたが，これほど簡単に編集できてしまうとは・・・。
記事の編集に手を出したのは今回が始めてだったが，こんなに気軽にできるなら，またリンク切れやらリンクの貼り間違いなんかに遭遇したら修正できないか試してみようかな。
記事の内容に不満がある項目もあるのだが，全面改訂までは，さすがにちょっと踏み切る勇気はないけど，プチ訂正なら簡単だしね。
確か，空間曲線の単位接線ベクトル，単位法線ベクトル，単位従法線ベクトルが作る局所座標系のアニメーションが Frenet-Serret の公式の解説に載っていたなと，記憶を頼りに検索してみたところ，確かにあった。
References に原論文へのリンクがあったりしないかな，と見ていたら，期待通りあったので見に行った。
Gallica という，19世紀頃の論文を電子データ化したものを一般公開してくれている，素晴らしいサイトがあるのだが，ちょうどそこに収録されていた。
ところが，実に残念なことに Serret の原論文へのリンクが間違っていた。
Euler のB関数やΓ関数に関する Serret の1843年の論文にリンクされてしまっていたのである。
Gallica で検索し直して1851年の正しい原論文を見つけた。
Wikipedia のリンク貼り間違いを修正できないもんかな，と考え，気軽に Edit というリンクをクリックしたら，編集モードの画面が開いたので，リンク先のURLを正しいものに変更しておいた。
そしたらちゃんと修正が反映されていたのである！
うーむ，Wikipedia というのは「オープンな」ネット百科事典，だと思っていたが，これほど簡単に編集できてしまうとは・・・。
記事の編集に手を出したのは今回が始めてだったが，こんなに気軽にできるなら，またリンク切れやらリンクの貼り間違いなんかに遭遇したら修正できないか試してみようかな。
記事の内容に不満がある項目もあるのだが，全面改訂までは，さすがにちょっと踏み切る勇気はないけど，プチ訂正なら簡単だしね。
Part I Part II Part III Part IV
n 次正方行列からなる集合は，加法，スカラー倍，積について閉じている。
二つの n 次正方行列 A，B について，積 AB と BA が一般には等しくないということは，行列の積のイロハのロくらい，基本的な知識であろう。（ちなみに，イはもちろん積が定義されるための型の条件や，積の計算の仕方（要するに定義）という基本中の基本である。）
余興としての問題を一つ出しておこう。
【余興問題】
X，Y を n 次正方行列とする。
O で n 次の零行列を表すことにする。
X≠O かつ Y≠O であって，しかも XY=O のとき，(X,Y) は『この順に』零因子であるという。
※『この順に』という語句を追加したのは僕の創作であって，全く一般的ではない（はず）ので，このブログ限りのことと心得ていただきたい。
さて，ここでちょっと疑問が湧いてこないだろうか。
この問題の答えは最後に載せる。
【答えを知らない問題 (1)】
零因子は非常に面白い。いろいろ思いついた。
(1a) X, Y はこの順に零因子であり，X，Z もこの順に零因子であるとする。このとき，Y と Z が一次独立であるような例があるならそれを挙げよ。ないならないことを証明せよ。
(1b) X が正則であるとき，X は零因子とはなりえないことを示せ（これは簡単）。
では，X が正則でなければ，X は必ず零因子であるといえるのだろうか？
つまり，零でない行列 Y で，XY=O か，YX=O のどちらかをみたすものが必ず存在するのだろうか？
ただしもちろん X≠O であるとする。
(1c) X, Y がこの順に零因子であるとする。このとき，Z, X の順に零因子となるような行列 Z は必ず存在するだろうか？
つい零因子に夢中になってしまったが，本題は以下の2題である。
有名な問題なのかもしれないが。
以下，スカラー行列とは，単位行列の定数倍であるような行列一般を指す。
【答えを知らない問題 (2)】
n 次行列 A は，任意の n 次行列 X と可換であるとする。
このとき，A はスカラー行列であるといえるだろうか？
【答えを知らない問題 (3)】
本問題は，あるネット掲示板で見かけた予想である。
2次正方行列 A がスカラー行列でないとき，A と可換な行列は A と E の一次結合で表される行列に限る，というのは高校の問題集にも載っている。
では，n 次正方行列 A がスカラー行列でないとき，A と可換な行列は，A の n-1 次式（An-1，An-2，・・・，A，E の一次結合）に限るだろうか？
この事実が正しいかどうかを判定するためのひとつの材料として，A が正則だったら，逆行列 A-1 は A と可換なので，A-1 は A の n-1 次式で表されるはずである。これはもっともらしいことであろうか？
僕は線形代数について詳しくないので，どうにもとっかかりすらつかめないでいる。
2次の場合は成分に関する連立方程式を導いて議論するという地道な方法で証明できる。
問題は，n 次の場合にもそれしか方法がないのかどうか，ということである。
『積が可換である』という事柄と，『A のべきの一次結合で表せる』という事柄をどう結びつけたらよいのだろうか・・・？
もちろんこの予想が間違っている可能性もある。
もしそうだとすると，そのことを明らかにする反例はいかにして構成しうるのだろうか・・・？
《余興問題の解答》
2 次行列で簡単に例が作れる。
行列 X の (i,j) 成分を x[i,j] と書く事にすると，例えば
x[1,1]=1，x[1,2]=x[2,2]=0，x[2,1]=1，
y[1,1]=y[1,2]=0，y[2,1]=1，y[2,2]=-1
というのが最も簡単な例であろう。
n 次行列でも例を作れないか考えてみるもの面白いだろう。
n 次正方行列からなる集合は，加法，スカラー倍，積について閉じている。
二つの n 次正方行列 A，B について，積 AB と BA が一般には等しくないということは，行列の積のイロハのロくらい，基本的な知識であろう。（ちなみに，イはもちろん積が定義されるための型の条件や，積の計算の仕方（要するに定義）という基本中の基本である。）
余興としての問題を一つ出しておこう。
【余興問題】
X，Y を n 次正方行列とする。
O で n 次の零行列を表すことにする。
X≠O かつ Y≠O であって，しかも XY=O のとき，(X,Y) は『この順に』零因子であるという。
※『この順に』という語句を追加したのは僕の創作であって，全く一般的ではない（はず）ので，このブログ限りのことと心得ていただきたい。
さて，ここでちょっと疑問が湧いてこないだろうか。
可換な零因子（のペア）はあるだろうか？
この問題の答えは最後に載せる。
【答えを知らない問題 (1)】
零因子は非常に面白い。いろいろ思いついた。
(1a) X, Y はこの順に零因子であり，X，Z もこの順に零因子であるとする。このとき，Y と Z が一次独立であるような例があるならそれを挙げよ。ないならないことを証明せよ。
(1b) X が正則であるとき，X は零因子とはなりえないことを示せ（これは簡単）。
では，X が正則でなければ，X は必ず零因子であるといえるのだろうか？
つまり，零でない行列 Y で，XY=O か，YX=O のどちらかをみたすものが必ず存在するのだろうか？
ただしもちろん X≠O であるとする。
(1c) X, Y がこの順に零因子であるとする。このとき，Z, X の順に零因子となるような行列 Z は必ず存在するだろうか？
つい零因子に夢中になってしまったが，本題は以下の2題である。
有名な問題なのかもしれないが。
以下，スカラー行列とは，単位行列の定数倍であるような行列一般を指す。
【答えを知らない問題 (2)】
n 次行列 A は，任意の n 次行列 X と可換であるとする。
このとき，A はスカラー行列であるといえるだろうか？
【答えを知らない問題 (3)】
本問題は，あるネット掲示板で見かけた予想である。
2次正方行列 A がスカラー行列でないとき，A と可換な行列は A と E の一次結合で表される行列に限る，というのは高校の問題集にも載っている。
では，n 次正方行列 A がスカラー行列でないとき，A と可換な行列は，A の n-1 次式（An-1，An-2，・・・，A，E の一次結合）に限るだろうか？
この事実が正しいかどうかを判定するためのひとつの材料として，A が正則だったら，逆行列 A-1 は A と可換なので，A-1 は A の n-1 次式で表されるはずである。これはもっともらしいことであろうか？
僕は線形代数について詳しくないので，どうにもとっかかりすらつかめないでいる。
2次の場合は成分に関する連立方程式を導いて議論するという地道な方法で証明できる。
問題は，n 次の場合にもそれしか方法がないのかどうか，ということである。
『積が可換である』という事柄と，『A のべきの一次結合で表せる』という事柄をどう結びつけたらよいのだろうか・・・？
もちろんこの予想が間違っている可能性もある。
もしそうだとすると，そのことを明らかにする反例はいかにして構成しうるのだろうか・・・？
《余興問題の解答》
2 次行列で簡単に例が作れる。
行列 X の (i,j) 成分を x[i,j] と書く事にすると，例えば
x[1,1]=1，x[1,2]=x[2,2]=0，x[2,1]=1，
y[1,1]=y[1,2]=0，y[2,1]=1，y[2,2]=-1
というのが最も簡単な例であろう。
n 次行列でも例を作れないか考えてみるもの面白いだろう。
ひとつ，印象に残っている技を紹介しよう。
問題
(b+c)(c+a)(a+b)+abc を因数分解せよ。
◆解法1
僕が好んでいるのは「中途半端に展開して整理する」というやり方である。
ただし，これは人には説明しづらい「野生のカン」のようなセンスが必要なので，汎用性は低い。
因数分解の常道である，「1文字に着目する」に従い，例えば a について式を整理すると
(b+c)(c+a)(a+b)+abc=(b+c){a2+(b+c)a+bc}+abc
=(b+c)a2+(b+c)2a+(b+c)bc+abc
を得る。
ここで一気に最後まで展開しきらないところがミソである。
ちょっと容器を傾けておきながら，こぼれる前に戻す，みたいなあやういバランス感覚が要求されるのである。
『なぜだか』あるいは『なんとなく』前の2項と後ろの2項をそれぞれペアにしてみると，
{(b+c)a2+(b+c)2a}+{(b+c)bc+abc}
=a(b+c){a+(b+c)}+{(b+c)+a}bc
=a(b+c)(a+b+c)+(a+b+c)bc
のように，思いがけない共通因数 a+b+c が見えてくる。
ここまでくれば，答えが
=(a+b+c)(bc+ca+ab)
となることは容易にわかる。
◆解法2
誰が思いついたのかは知らないけれども，次のように実に鮮やかな解法がある。これを紹介するのが今回の記事のメインテーマである。
s=a+b+c とおく。
すると b+c=s-a，c+a=s-b，a+b=s-c であるから，
(b+c)(c+a)(a+b)+abc=(s-a)(s-b)(s-c)+abc
={s3-(a+b+c)s2+(bc+ca+ab)s-abc}+abc
=s3-s•s2+(bc+ca+ab)s
=(bc+ca+ab)s
=(bc+ca+ab)(a+b+c)
となる。
いや～，実に見事である！
これはなかなか忘れない。
そして，機会があればこの方法を使ってみたいなあ，と思わせてくれる，そんな魅力を持った解法ではないだろうか？
◆解法3（蛇足）
思うに，解法2の背景には，因数分解すべき式が a，b，c に関して対称な3次式だから，基本対称式
s=a+b+c,
t=bc+ca+ab,
u=abc
の多項式として表せるのではないか，という考えがあるような気がする。
この観点に素直に従うと，
(b+c)(c+a)(a+b)+abc=xs3+yst+zu
とおいて係数 x, y, z を定める，という方針になりそうだ。
左辺を展開しても a3 は現れないが，右辺を展開すると xa3 が現れるので，x=0 でなければならないことがわかる。
あとは，a=b=1，c=0 なんかを代入してみて
左辺=2,
右辺=2y
より y=1，
次に a=1，b=1，c=-1 なんかを代入してみて，
左辺=-1,
右辺=-y-z
より，z=0 となる，というような流れで (x,y,z)=(0,1,0) であることを見出すことが可能である。
たったひとつの問題でも，かようにいろいろなことを考えることができるのである。
問題
(b+c)(c+a)(a+b)+abc を因数分解せよ。
◆解法1
僕が好んでいるのは「中途半端に展開して整理する」というやり方である。
ただし，これは人には説明しづらい「野生のカン」のようなセンスが必要なので，汎用性は低い。
因数分解の常道である，「1文字に着目する」に従い，例えば a について式を整理すると
(b+c)(c+a)(a+b)+abc=(b+c){a2+(b+c)a+bc}+abc
=(b+c)a2+(b+c)2a+(b+c)bc+abc
を得る。
ここで一気に最後まで展開しきらないところがミソである。
ちょっと容器を傾けておきながら，こぼれる前に戻す，みたいなあやういバランス感覚が要求されるのである。
『なぜだか』あるいは『なんとなく』前の2項と後ろの2項をそれぞれペアにしてみると，
{(b+c)a2+(b+c)2a}+{(b+c)bc+abc}
=a(b+c){a+(b+c)}+{(b+c)+a}bc
=a(b+c)(a+b+c)+(a+b+c)bc
のように，思いがけない共通因数 a+b+c が見えてくる。
ここまでくれば，答えが
=(a+b+c)(bc+ca+ab)
となることは容易にわかる。
◆解法2
誰が思いついたのかは知らないけれども，次のように実に鮮やかな解法がある。これを紹介するのが今回の記事のメインテーマである。
s=a+b+c とおく。
すると b+c=s-a，c+a=s-b，a+b=s-c であるから，
(b+c)(c+a)(a+b)+abc=(s-a)(s-b)(s-c)+abc
={s3-(a+b+c)s2+(bc+ca+ab)s-abc}+abc
=s3-s•s2+(bc+ca+ab)s
=(bc+ca+ab)s
=(bc+ca+ab)(a+b+c)
となる。
いや～，実に見事である！
これはなかなか忘れない。
そして，機会があればこの方法を使ってみたいなあ，と思わせてくれる，そんな魅力を持った解法ではないだろうか？
◆解法3（蛇足）
思うに，解法2の背景には，因数分解すべき式が a，b，c に関して対称な3次式だから，基本対称式
s=a+b+c,
t=bc+ca+ab,
u=abc
の多項式として表せるのではないか，という考えがあるような気がする。
この観点に素直に従うと，
(b+c)(c+a)(a+b)+abc=xs3+yst+zu
とおいて係数 x, y, z を定める，という方針になりそうだ。
左辺を展開しても a3 は現れないが，右辺を展開すると xa3 が現れるので，x=0 でなければならないことがわかる。
あとは，a=b=1，c=0 なんかを代入してみて
左辺=2,
右辺=2y
より y=1，
次に a=1，b=1，c=-1 なんかを代入してみて，
左辺=-1,
右辺=-y-z
より，z=0 となる，というような流れで (x,y,z)=(0,1,0) であることを見出すことが可能である。
たったひとつの問題でも，かようにいろいろなことを考えることができるのである。
授業のHPのカウンターを確認したら，
12348
だった。
もっと早くに気付いて調べればよかった。ORZ←orz の巨人版のつもり。大いにガックリきたという気持ちを表す。
類：OTL の小文字版 otl. ちょっとガックリ。なんのこっちゃわからんな，こりゃ。
12348
だった。
もっと早くに気付いて調べればよかった。ORZ←orz の巨人版のつもり。大いにガックリきたという気持ちを表す。
類：OTL の小文字版 otl. ちょっとガックリ。なんのこっちゃわからんな，こりゃ。
ここのところ，天気がいい日は日中の気温が30度近くまで上がる。
ほとんど真夏といってもよい天候だが，日が暮れるとさすがに涼しくなったりもする。
ただ，蒸し暑いと感じるときもあるので，梅雨のことを思うと憂鬱になる。
カタツムリをすでに2匹目撃していることだし・・・。
殻のないカタツムリがブロック塀を這っているのも目撃したけど。
あ，それはカタツムリじゃなくてナメクジだって？
ごもっとも！
ほとんど真夏といってもよい天候だが，日が暮れるとさすがに涼しくなったりもする。
ただ，蒸し暑いと感じるときもあるので，梅雨のことを思うと憂鬱になる。
カタツムリをすでに2匹目撃していることだし・・・。
殻のないカタツムリがブロック塀を這っているのも目撃したけど。
あ，それはカタツムリじゃなくてナメクジだって？
ごもっとも！
授業のホームページのカウンターが 12300番台に突入した。
12345 をゲットするのは誰だろう？
もちろん，僕は狙っているよ。
12345 をゲットするのは誰だろう？
もちろん，僕は狙っているよ。
なかなかいい問題だと思ったのだが・・・。
問題
(1) √x+√y=√z
をみたす自然数 x, y, z の組があればそれを求めよ。
なければないことを証明せよ。
もし解 (x,y,z) があるなら，それは無限個あるか？それとも有限個しかないだろうか？
(2) √x+√y=√p+√q
をみたす自然数の組 (x,y,p,q) はあるか？
あるとして，それらは無数にあるか，それとも有限個しかないか？
ただし，
(x,y,p,q)=(n,n,n,n)，(n,m,n,m)，(n,m,m,n)
のような自明な解は除くものとする。
(3) √x+√y=k√z ではどうか？ここで，k は任意の自然数とする。
問題
(1) √x+√y=√z
をみたす自然数 x, y, z の組があればそれを求めよ。
なければないことを証明せよ。
もし解 (x,y,z) があるなら，それは無限個あるか？それとも有限個しかないだろうか？
(2) √x+√y=√p+√q
をみたす自然数の組 (x,y,p,q) はあるか？
あるとして，それらは無数にあるか，それとも有限個しかないか？
ただし，
(x,y,p,q)=(n,n,n,n)，(n,m,n,m)，(n,m,m,n)
のような自明な解は除くものとする。
(3) √x+√y=k√z ではどうか？ここで，k は任意の自然数とする。
ふとね，思ったんだけどね。
「ホームページのカウンター，12222だったって！」
「そうか。あたしも見に行ってみるかなっ。」
・・・・
「ねえ，カウンターが12222だっていうの，ウソじゃない？」
「え，どうして？ホントだって。写メも撮ったし。証拠あるよ？」
「でもさあ，あたしが見に行ったときは12223だったよ。」
「そりゃ，あんたが見に行ったことでカウンターの値が変わるに決まってるじゃん。」
「そういうもんかなぁ。」
「そういうもんだよ。常識だよ。頭おかしいんじゃないの？」
「フツーそこまで言うかあ？」
なぜか取っ組み合いの喧嘩になってしまったが，これって，「系が観測されたかどうかを系自身が観測している」ということで，「観測者」と「被観測者」とがエンタングルしている例じゃないかな！
観測問題の本質というのは，こういう話じゃないのかな。どうかな？
「ホームページのカウンター，12222だったって！」
「そうか。あたしも見に行ってみるかなっ。」
・・・・
「ねえ，カウンターが12222だっていうの，ウソじゃない？」
「え，どうして？ホントだって。写メも撮ったし。証拠あるよ？」
「でもさあ，あたしが見に行ったときは12223だったよ。」
「そりゃ，あんたが見に行ったことでカウンターの値が変わるに決まってるじゃん。」
「そういうもんかなぁ。」
「そういうもんだよ。常識だよ。頭おかしいんじゃないの？」
「フツーそこまで言うかあ？」
なぜか取っ組み合いの喧嘩になってしまったが，これって，「系が観測されたかどうかを系自身が観測している」ということで，「観測者」と「被観測者」とがエンタングルしている例じゃないかな！
観測問題の本質というのは，こういう話じゃないのかな。どうかな？
