ソフトウェア開発したい日記

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コインを2000回投げて1100回以上表が出る確率 2

2011年01月12日 23時37分16秒 | 数学
センターまで後僅かで塾講師のアルバイトが大変になってきた。
ので、昨日に引き続き確率計算します。

単純な計算はできなかった、コインを2000回投げて1100回以上表が出る確率。
2000回の試行で100回のバラツキが起こる確率はどれくらいなのか。

コイン投げ試行の二項分布は、試行回数が大きければ正規分布に従うので
正規分布を用いて考えることにする。

平均は2000*0.5=1000
標準偏差は√(2000*0.5*0.5)=10√5
確率変数XがN(1000, (5√10)^2)の正規分布と考え、

(X-1000)/(10√5) = Z

と変換することで、標準化を行う。
ここで、表の出る回数が1100回~2000回となる回数は

P(1100≦X≦2000) = P((1100-1000)/(10√5)≦Z≦(2000-1000)/(10√5))
= P(2√5≦Z≦20√5)
= P(0≦Z≦20√5) - P(0≦Z≦2√5)

と書くことができる。
電卓でP(0≦Z≦2√5)を計算してみると、

P(0≦Z≦2√5) = ∫_{0}^{2√5} (1/√(2π))e^(-z^2/2)dz = 0.4999961279

ちなみに、ほぼ0.5だろうなと思いながら一応P(0≦Z≦20√5)を電卓で叩いてみると、
ご丁寧に1/2と分数表記されて出てきました。
なので結論として、コインを2000回投げて1100回以上表が出る確率は、

0.5 - 0.4999961279 = 0.0000038721 = 0.00038%

ということがわかります。
途中標準偏差の計算ミスに気がつかず、無駄に時間かかってしまいましたが
なんとか計算できました。多分。
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