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２００９年度数学の問題と答え
或いは、YゼミのHPの入試情報からダウンロード可能です。
先程、60分時間測って解いてみました。
練習して気合入れてないと、センター数学ⅡBより難しいです。
入試的には標準問題なので、東大受験生は全て出来ることが目標でしょうが、
一般的に社会選択者との勝負で、80点とれれば、合格ラインでしょうね。
上手くいくと90点で、余裕ができる。
しかし、三角比の角度の大小関係は、かなりやばく、タイムオーバー。。。。。
満点が難しいようにはなっているので、そこにはまらないように、
出来る問題を確実に先に解きましょう！！
【２】まで書いていたら、間違ってEscを押してしまい。消えた・・・・
【１】
（１）m=6のとき、3^6 =(3^2)^3=9^3=729 <10^3=1000< 3^(6+1)=3・3^6 3^(5+1)より、m=6なら条件を満たす。
この問題は、
≦が、｛＜または＝を意味すること｝に躊躇ないことの確認でしょうね。
2を底とするlog(1/200)は= -log(2・100) = -log2 -2log10= -1 -2log10
だから、与式は、
n +1 ≦ -2log10 ＜ n+2
である。
これを満たすnは、-3 > -log10> -4 より、n=-8だろう。
2-(n+1) ≧100としても、
2^7 =1024/8=128 ＞100＞2^6 だから、
境界でn+1=-7 すなわち n=-8としても良い。
（２）二倍角公式を知っていたら、繰り返し使うだけ。
知らなくても、sin2a= sinacosa + cosasina= 2sinacosa
と加法定理で求まるし、
cos2a = cosacosa - sinasina = 2(cosa)^2 - 1
がわかると、
sin4a = 2sin2acos2a
も計算できます。
問題は、αの範囲を評価する問題、m=4では粗く、m=5と出来るかどうかは、
あまり悩まないで、次に進むのが無難でしょう。
□１．だからって、すべて簡単瞬殺というものでもないわけです。
一問くらいはこのようなしんどい問題がでるでしょうが、後回しにして、
瞬殺できる問題を先に解きましょう！！
（３）a,b空間で、直線と直線の間の領域をとるとき、
f(5) = k のとき、b = -5a + k だから、kの最大最小は、上の領域の尖端となることが、
グラフを書けばわかるでしょう。
あとは、交点を求めて、代入計算をしっかり。
【２】
（１）
題意から、25 +5a +b ① も、81 +9a +b ②も13で割り切れる、
よって、②－①から、56 + 4a も13で割り切れ13kと書ける。
56=14・4 より、4(a + 14) = 13k故、a+14 = 13の倍数
これから、a = 13m -14 が自然数となるのは、m=2,3,4・・・
a = 12, 25, ・・・だから、aを13で割った余りは、12!
a = 12を①②にいれちゃって、
85 + bと、189 + b が13L, 13n
と書けるから、
13・6 +(7+b) =13L
13・14 +(7+b)=13n
となるのは、7+b =13P したがって、b=13k -7 = 13(k-1) +6
よって、余りは6！
（２）
そのまま計算して、代入し、係数比較して、
a=-6 b= -3とでて、
cについて、c^3-9c^2-9c+81=0がでる。
これは、c=3で成立するから、
(c-3)(c^2 -6c -27)=0とかけ、さらに(c-3)(c-9)(c+3)=0と因数分解できる。
よって、ｃは-3,3,9となる。
（３）
g'(x) =0が二実解をもてば、符号が変わるので、増減による極大・極小が存在する。すなわち、判別式D/4＞０を出せばいいだけ。
【3】
三角形をしっかり描いて、三角比で長さの関係を抑える。
それができれば、後は定型の基本。
漸化式は、2√3 = a(n+1)/sin60° + a(n)/tan60°でおわり、
等比数列は、辺辺から、a = -a/2 + 3を引くとでるので、
a = 2
三角形になってしまう境で、
a3/tan60°＋a1/sin60° = 2√3のとき、
a3 =(a1 +6)/4だから、a1=2!
四角形以外は、３つの直角三角形の和
後者を最小にするとき、前者が最大。
後者は(a1^2 + a2^2 + a3^2)/(2tan60°)
漸化式から計算し、
21a1^2 -36a1 +60=0の最小となるのは、
42a1 -36=0のとき、
a1=6/7 <2なので、問題なく最小。
最後は、単なる等比数列の和。
ちょっと移項するだけ。
さて、αの範囲は、m=4では粗いかどうか？
π/5 とαの大小をπと5αの大小にしてよい。
cosπとcos(5α)なら、cosが、減少関数だから、
といえ、5α＞πなら、やばい。
sinπとsin(5α)なら、この近くで減少関数である！！
sinπ＜sin(5α)⇔π＞5α⇔π/5＞αであり、
その逆もしかり。
sin5α＝sin（α+4α）とすれば、前の計算値が使える。
そういうわけで、これはcos4α= -7/9をだして、
√3/3・cos4α＋√6/3・4√2/9 = √3/27 ＞0＝sinπ。
α＜π/５であり、m=5であった！！
これは、少し面倒である。時間があったら後でやるべきだ。
２００９年度数学の問題と答え
或いは、YゼミのHPの入試情報からダウンロード可能です。
先程、60分時間測って解いてみました。
練習して気合入れてないと、センター数学ⅡBより難しいです。
入試的には標準問題なので、東大受験生は全て出来ることが目標でしょうが、
一般的に社会選択者との勝負で、80点とれれば、合格ラインでしょうね。
上手くいくと90点で、余裕ができる。
しかし、三角比の角度の大小関係は、かなりやばく、タイムオーバー。。。。。
満点が難しいようにはなっているので、そこにはまらないように、
出来る問題を確実に先に解きましょう！！
【２】まで書いていたら、間違ってEscを押してしまい。消えた・・・・
【１】
（１）m=6のとき、3^6 =(3^2)^3=9^3=729 <10^3=1000< 3^(6+1)=3・3^6
この問題は、
≦が、｛＜または＝を意味すること｝に躊躇ないことの確認でしょうね。
2を底とするlog(1/200)は= -log(2・100) = -log2 -2log10= -1 -2log10
だから、与式は、
n +1 ≦ -2log10 ＜ n+2
である。
これを満たすnは、-3 > -log10> -4 より、n=-8だろう。
2-(n+1) ≧100としても、
2^7 =1024/8=128 ＞100＞2^6 だから、
境界でn+1=-7 すなわち n=-8としても良い。
（２）二倍角公式を知っていたら、繰り返し使うだけ。
知らなくても、sin2a= sinacosa + cosasina= 2sinacosa
と加法定理で求まるし、
cos2a = cosacosa - sinasina = 2(cosa)^2 - 1
がわかると、
sin4a = 2sin2acos2a
も計算できます。
問題は、αの範囲を評価する問題、m=4では粗く、m=5と出来るかどうかは、
あまり悩まないで、次に進むのが無難でしょう。
□１．だからって、すべて簡単瞬殺というものでもないわけです。
一問くらいはこのようなしんどい問題がでるでしょうが、後回しにして、
瞬殺できる問題を先に解きましょう！！
（３）a,b空間で、直線と直線の間の領域をとるとき、
f(5) = k のとき、b = -5a + k だから、kの最大最小は、上の領域の尖端となることが、
グラフを書けばわかるでしょう。
あとは、交点を求めて、代入計算をしっかり。
【２】
（１）
題意から、25 +5a +b ① も、81 +9a +b ②も13で割り切れる、
よって、②－①から、56 + 4a も13で割り切れ13kと書ける。
56=14・4 より、4(a + 14) = 13k故、a+14 = 13の倍数
これから、a = 13m -14 が自然数となるのは、m=2,3,4・・・
a = 12, 25, ・・・だから、aを13で割った余りは、12!
a = 12を①②にいれちゃって、
85 + bと、189 + b が13L, 13n
と書けるから、
13・6 +(7+b) =13L
13・14 +(7+b)=13n
となるのは、7+b =13P したがって、b=13k -7 = 13(k-1) +6
よって、余りは6！
（２）
そのまま計算して、代入し、係数比較して、
a=-6 b= -3とでて、
cについて、c^3-9c^2-9c+81=0がでる。
これは、c=3で成立するから、
(c-3)(c^2 -6c -27)=0とかけ、さらに(c-3)(c-9)(c+3)=0と因数分解できる。
よって、ｃは-3,3,9となる。
（３）
g'(x) =0が二実解をもてば、符号が変わるので、増減による極大・極小が存在する。すなわち、判別式D/4＞０を出せばいいだけ。
【3】
三角形をしっかり描いて、三角比で長さの関係を抑える。
それができれば、後は定型の基本。
漸化式は、2√3 = a(n+1)/sin60° + a(n)/tan60°でおわり、
等比数列は、辺辺から、a = -a/2 + 3を引くとでるので、
a = 2
三角形になってしまう境で、
a3/tan60°＋a1/sin60° = 2√3のとき、
a3 =(a1 +6)/4だから、a1=2!
四角形以外は、３つの直角三角形の和
後者を最小にするとき、前者が最大。
後者は(a1^2 + a2^2 + a3^2)/(2tan60°)
漸化式から計算し、
21a1^2 -36a1 +60=0の最小となるのは、
42a1 -36=0のとき、
a1=6/7 <2なので、問題なく最小。
ちょっと移項するだけ。
さて、αの範囲は、m=4では粗いかどうか？
π/5 とαの大小をπと5αの大小にしてよい。
cosπとcos(5α)なら、cosが、減少関数だから、
といえ、5α＞πなら、やばい。
sinπとsin(5α)なら、この近くで減少関数である！！
sinπ＜sin(5α)⇔π＞5α⇔π/5＞αであり、
その逆もしかり。
sin5α＝sin（α+4α）とすれば、前の計算値が使える。
そういうわけで、これはcos4α= -7/9をだして、
√3/3・cos4α＋√6/3・4√2/9 = √3/27 ＞0＝sinπ。
α＜π/５であり、m=5であった！！
これは、少し面倒である。時間があったら後でやるべきだ。
