位相変換

２次元での回転の複素数バージョン。

それだけ。

とりあえずゲージ変換の所は触れとかないとなぁ・・・と思って、その前ふりです。


ところで、オイラーの式は偶数部分のコサインと奇数部分のサインに分かれている。

級数展開というものをするとわかるけど、虚数の偶数乗が実数部分で、奇数乗が虚数部分になっている。

虚数を基準にもってくると、実数とは虚数の０乗（プラス）と２乗（マイナス）が省略されているだけ。

マイナスを虚数の２乗のまま残して書けば、実数が複素数の中にあるという感覚になじめるかもしれない。

複素共役

C変換は荷電を逆にするので物質と反物資の変換に対応します。

C変換の他には、Xを-Xにするように空間反転させるP変換(Parity変換)、時間反転させるT変換(Time変換)などがあります。


対称性があれば保存則があるというネーターの定理がある。

例えば、時間の並進対称性はエネルギー保存則に対応する。


物理法則は対称性があってスッキリしているだろうと考えられたが、そうではなかった。

１９５６年に中性子の崩壊でP対称性が破れていることが実験で確認された。

CP変換では保存するだろうと考えられたが１９６４年にK中間子の崩壊で破れていることが確認された。

１９７０年代にカビボが３つのクオークの混合を、小林・益川の両氏が６つのクオークの混合にすると複素数が入れられるという発想によりCP対称性の式を非対称性にできる論文を発表する。

内部空間

波動性のサインやコサインは2回微分しないと元に戻らない。

そこを1回で元に戻したいのでオイラーの公式を用いる。

知ることができるのは振幅だけと要請して虚数の部分は消す。

おまけに絶対値の２乗なのでマイナスも無ければ虚数も無く、後は０から１までにするとまさに確率と同じ性質だ。

たとえ虚数が出てきても２つ組み合わせれば虚数ではなくなる。
虚数の波が異次元を回ってくるというイメージではないようだ。



波動や確率の性質が見れる２重スリット実験がある。


電子を一点からまっすぐ前に撃っても、到達場所はバラバラだ。

真空の何かに動かされてズレたのか。

といっても先を読んでないから知らないだけです。


真空偏極と呼ばれる粒子と反粒子の生成消滅や、ヒッグスやダークマターのような粒子も真空を作っている可能性があるらしいので、今では真空は何も無い空間ではないようだ。


と言っても、ヒッグスなどは水蒸気が水になったように他とぶつかりやすくなった結果と言われていて、ビッグバンの頃はあちこちに飛び回っていたらしい。

その頃には、やっぱり真空があったということでよろしいのだろうか。


一方、一般相対性理論によると物質は周りの空間を曲げる。

私などは、空間は何らかの物質で出来ているから曲がる、とイメージしてしまうのだけれど、そうするとビッグバンの頃の空間は曲がらなかったとなってしまうが、間違っている確率は高そうだ。

演算子

（エネルギーの式を１乗にするところは記事「非可換」を参照してね）

量子力学ではエネルギーや運動量は演算子に変換できる。

相対性理論の２乗の式が２階微分の式に変わるが、幾つかの不都合により１階微分にしたのがディラック方程式になる。


３次元はアルファベットで書き、４次元はギリシャ文字で書かれている。
一般相対性理論などが常識になったりするとギリシャ文字は避けては通れなくなるでしょう。

ξ←コレはちょっとつらいよなぁ・・・

波の合成

波のように伝播する式も複素数（オイラーの公式の形）で書ける。

波のようにと言っても、いろんな言い方がある。
物質波、確率波、波動関数、状態。
どれも同じもののようなので、ややこしくないように統一できないものだろうか・・・

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こうであったようにと言われても・・・
という声がどこからか聞こえてきたので付けたしたいと思います。

オイラーの公式

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（マクローリン展開から導けます）

波動は三角関数でも書けるけれど、数学的には虚数乗でも書ける。

サインやコサインを２回微分すると、マイナスは付くものの、自身の形に戻ることができる。

それに対して虚数乗の場合は、虚数は付くものの、１回微分で自身に戻るので、虚数に抵抗がなくなれば計算はかなり楽になる。


量子力学での確率は波の高さの２乗になっているので、虚数乗を２つ用意する（共役と合わせる）とうまい具合に虚数が相殺できる。

確率が虚数になることもないし、マイナスになることもない・・・・と思っていたが、最近、マイナスの確率を日本人が観測したようだ。

波動性

量子力学の初めの対応関係。

粒子から波動へ、一つから多数へ、確定から不確定へといろいろ移行してゆく。


理解に苦戦しているのに、Texのソフトが壊れて更に苦戦している。
悪い波が来て、多数の不具合が起きたので、日記更新がやや不確定・・・

なのでpdfの文字を継ぎはぎして作成。

２つの状態

３次元の２乗から２つの状態を計算してみた。
別名パウリ行列。
その先にスピンの概念があるけれど、計算はやや難しめだ。

右辺の文字を４つ(４次元)に増やすと、今度は２つの状態では足りなくなる。（ディラック行列）


たとえ虚数とか出てきても２つ組み合わせれば虚数ではなくなる。
１００乗して－１になるような虚数を使っても１００個組み合わせれば虚数でなくなる。
虚数の波が異次元を回ってくるというようなイメージではないようだ。