横浜金沢区の植物の数学・花弁編 Vol.2
相当な字数になり、goo blogの字数制限と言う大人の事情でVol.1~Vol.2に分割した。
はじめに
横浜金沢区の植物の数学・花弁編Vol.1からの続き。横浜金沢区の植物の数学を記述した。その中で植物の花弁についての考察を文末に記載したが、これはこれはほんのさわり程度であった。植物の花の構造で真っ先に目に付くのは花弁（はなびら）である。代表的な梅、桜の5枚から、タンポポ、ダリア等多数の花弁が付く物があり、多種多様である。一重の花に限っても花弁の形は楕円形、長楕円形、卵状楕円形、その他定義できない細長い物等多数ある。更に八重花を含めると無数にある。花の一般的構造は、花弁の外側に萼片があり、その下に萼筒がある。一方、花弁の内にある柱頭の周りに複数の花糸があり、その先に葯が付く。かなりの分量になる事が予想されるので、花弁編として纏めた。使うツールは数学ソフトWolfram Mathematicaである。このソフトはフリーOSのLinuxに添付されている無料版のソフトだが、強力なツールで、グラフ化が優れている。このソフトはWolfram MathematicaのURLに実例が豊富に記載されている。本来このソフトは有料だが、ボードPCのRaspberry PiのフリーソフトLinux OSに何故か、最初から含まれている。このソフトは有料版のサブセット版である。例えば、環（トーラス）の関数は含まれていない。とは云えWindows10版数学フリーソフトMaximaよりは高機能だ。Raspberry PiボードPCは高専ロボコンでは定番になっている。実際、温湿度センサー、GPS制御に使い易い。制御ソフトはPythonを使う。Mathematica、Python等強力な無料ソフトが使える。電気代等諸物価が高騰し続ける昨今、有り難い。ミサイルなんか要らない。下らない物に金を使うのは、外道の常套手段。ここで扱う数学は中程度で、テンソルとか難解な数式は出てこない。高校程度の数学の話をすると、極限値、微分の例題では、問題を解く前に分子・分母の式変形をして、微分公式に乗せて問題を解く。昔はこの方法しかなかったが、今は数学ソフトで例題をそのまま入力すればPCが答を出してくれる。分子・分母の式変形が分からず数学を投げ出す事が多い。数学ソフトではこの作業は不要。更に、積分では置換積分、部分積分の面倒なテクニックを知らなくても、数学ソフトがBlackboxで解いてくれる。昔はA4数頁に解法を長々と鉛筆で書いて、やっと解を得た気持ちの良い達成感が得られたが、今は・・・。Windows10を使っていると勝手に更新プログラムをダウンロードして、インストールされてしまう。そして作業中に再起動してしまう事もある。更新プログラムは百害あって一利なし。問題なく動作している物に変更を加えるとシステムの脆弱性を助長するだけ。挙句の果てにブートローダーを破壊する。そこで回復ドライブ等の手を借りる。この段階でワープロ、画像ソフト等のアプリケーションプログラムは消失してしまう。回復は一筋縄ではいかぬ、それなら最初からWindows10を再インスートルした方が大幅に時間短縮になる。折角手間と時間をかけて修復してもWindows10システムだけしか残らず、ワープロ、画像ソフト等のアプリケーションプログラムを再インストールする羽目になる。ワープロ・ソフトでこれら植物記事を書く際、萼片等植物特有の熟語をその都度、単語登録している。再インストールとなるとこれら時間の掛かる作業が全て水泡に帰する。Windows10は常駐プログラムが多数走っており、PC性能の足を引っ張っている。services.mscプログラムで一時的に更新OFFにできるが、Windows10でservices.msc設定を書き換えてしまうので、どうにもならない。Product Keyの確認も常駐しているが、これらは使用者にはどうでもいい話。結論から云うとどうでもよい常駐プログラムが多すぎる。普段ルーターの電源はOFFにしており、インターネットに接続していない。セキュリティ更新なんて意味が無い。一方、Linux OSは起動もOFFがWindows10に比べてビックリする程速い。PCのハード性能はWindows10PCに比べて遥かに劣るが、下らない常駐プログラム数は少なく、軽いOS。その分Windows10と異なりブートローダーを破壊する事も無い。Windows10を使うのは、RAW現像ソフトCanon Digital Photoprofessional 4が目的で、CanonがLinux版をサポートしてくれれば、Windows10とおさらばできだろう。本題に戻り、植物は生物進化の過程で複雑な形状を体得しており、数式化は不可能で、近似の真似事になる。野草は更に難しい。それに比べて園芸種は多少易しい。まず、先人達の業績から述べる。
シリーズ物
横浜金沢区の植物の数学
横浜金沢区の植物の数学Ⅱ
横浜金沢区の植物の数学・花弁編Vol.1
横花金沢区の数学・花弁編と曼荼羅・弥勒
1. フィボナッチ Fibonacci 1170~1240頃
西洋ではエジプト、ギリシャ、アラビア数学の系譜で、ルネッサンス以降イタリアで算術、代数学が勃興した。キリスト教的ヨーロッパ世界が生んだ最初の偉大な数学者。レオナルド･ダ･ピサ Leonardo daPisa，レオナルド･ピサーノ Leonardo Pisano とも云う。イタリアのピサ出身で名にPisaが付く。当時、どこどこの出身で、誰々と呼ばれていた。地中海地域の商業活動に携わる傍ら、高度に発達したアラビア数学の技法を身につけ、後世に大きな影響を与える著作を書いた。その名声は，時の神聖ローマ帝国皇帝フリードリヒ2世にも届き、晩年にはピサ共和国から「卓越し学識あるレオナルド」の名を与えられ、年金を供与されたことが記録に残されている。主著「アバクスの書Liber abaci（算術の書）」、初版1202年、改訂版1228年。インド･アラビア式数字（今日の算用数字）による筆算法をヨーロッパ世界に伝えた画期的な書物である。その最終章は，フワーリズミーやアブー･カーミルの二次方程式論を取り扱っている。アラビアの代数学を伝えた点で、彼はヨーロッパ後期中世の商業用代数学（コス式技法）の祖とみなされる。実用幾何学は、測定問題のみでなく、証明問題をも考察している。「精華」、「平方の書」は、高度な数論的問題を扱った独創的な著作で，例えば二次の連立不定方程式を解いている。「アバクスの書」は多くの後継者をもち、後のヨーロッパ数学を、算術的，代数的な物にするのに大きな力を発揮したが、独創的な「精華」、「平方の書」は，殆ど読まれる事なく終わった。ヨルダヌス N.Jordanus とともに、13世紀の孤高の数学者ぶりを示しているといってよいか。この頃の日本は、鎌倉時代で承久の乱は1221年。「算盤の書」に記載されていた「ウサギの問題」の記述で「フィボナッチ数」が有名になった。6千年前の古代メソポタミア文明、4千年前の古代中国の夏王朝の頃、西欧は森林で覆われていた田舎であった。それが、エジプト、ギリシャ文明を吸収し、ルネサンスを経て世界中に植民地支配を形成し、更に産業革命を起こし、我先に帝国支配の列強国にのし上がった。西欧史を一行で纏めるとこうなる。ヒットラー・ナチス、プーチン・ロシア、イスラエルはこの線上にある。
2.序章として、フィボナッチ数 Fibonacci sequenceを求める。
数式の文字・記号はワープロで認識できる文字に変換している。数学独自な微積分等の記号・文字を正確に記述するには図で挿入する事になるが、管理が複雑になるので止めた。
Mathematicaを使って、フィボナッチ数を算出した。黄金比 GoldenRatio関数を使う。一般に入力Inに関数式を書いて、求める解を出力Outを出す。20個迄求めた。
In[1]:= Table[Round[GoldenRatio^n/Sqrt[5]],{n,20}]
Out[1]= {1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765}
フィボナッチ数列
フィボナッチ数はヒマワリの種、松ボックリの配列等に見られる。
3.黄金比 GoldenRatio
これも序章。Mathematicaを使って、黄金比を算出した。黄金比 GoldenRatio関数を使う。10桁迄求めた
In[1]:= N[GoldenRatio,10]
Out[1]= 1.618033989
4.黄金角 GoldenAngle
これも序章。Mathematicaを使って、黄金角を算出した。黄金角 GoldenAngle関数を使う。
(*黄金角とは、完全な角度を黄金比で与えられる2つの部分に分ける角である．黄金角の厳密値．*)
In[1]:= FunctionExpand[GoldenAngle]
Out[1]= (3-Sqrt[5]) \[Pi]
(*ラジアンと度の値を近似する*)
In[2]:=N@{GoldenAngle,GoldenAngle/Degree}
Out[2]= {2.39996,137.508}
ここからが本番で、実際に横浜金沢区で撮影した植物が フィボナッチ数、黄金比に適合するか、検証する。
Vol.2からの続き
5.7.十六花弁
5.7.1花壇の花
Mathematicaを使って、PolarPlotで近似できる。
In[1]:= PolarPlot[Evaluate[Table[Abs[Sin[\[Theta]+i]],{i,0,2 Pi,2 Pi/16}]],{\[Theta],0,2 Pi},PlotStyle->Thick,ColorFunction->Function[{x,y,t,r},Hue[r]],Axes->False,RegionFunction->Function[{x,y,t,r},r<0.555],ColorFunctionScaling->False,PlotPoints->80,MaxRecursion->6]
Out[1]=
花壇の花
金沢区 2023年6月18日
上記の写真にPolarPlot_flower_16 を重ねた。
5.7.2ダリア
前述のPolarPlot_flower_16と少し形が異なる。
In[1]:=Rotate[PolarPlot[Evaluate[Table[Abs[Sin[\[Theta]+i]],{i,0,2 Pi,2 Pi/16}]],{\[Theta],0,2 Pi},PlotStyle->Thick,ColorFunction->Function[{x,y,t,r},Hue[r]],Axes->False,RegionFunction->Function[{x,y,t,r},r<0.83],ColorFunctionScaling->False,PlotPoints->6480,MaxRecursion->15],11.25Degree]
Out[1]=
ダリア
金沢区 2023年6月18日
上記の写真にPolarPlot_flower_16b を重ねた。
5.8.二十花弁
5.8.1花壇の花
In[1]:=Rotate[PolarPlot[Evaluate[Table[Abs[Cos[10\[Theta]/3+i]/Sin[10\[Theta]/3+i]],{i,0,2Pi,Pi/3}]],{\[Theta],0,2 Pi},PlotStyle->Thick,ColorFunction->Function[{x,y,t,r},Hue[r]],Axes->False,RegionFunction->Function[{x,y,t,r},r<1.657],ColorFunctionScaling->False,PlotPoints->15480,MaxRecursion->15],9Degree]
Out[1]=
花壇の花
金沢区 2023年7月28日
上記の写真にPolarPlot_flower_20a を重ねた。
5.9.二十一花弁
5.9.1那賀川野菊
In[1]:=Rotate[PolarPlot[Evaluate[Table[Abs[Cos[14\[Theta]/4+i]/Sin[14\[Theta]/4+i]],{i,0,2Pi,Pi/3}]],{\[Theta],0,2 Pi},PlotStyle->Thick,ColorFunction->Function[{x,y,t,r},Hue[r]],Axes->False,RegionFunction->Function[{x,y,t,r},r<1.728],ColorFunctionScaling->False,PlotPoints->15480,MaxRecursion->15],12Degree]
Out[1]=
ナカガワノギク Chrysanthemum yoshinaganthum 那賀川野菊
金沢区 2021年11月12日
上記の写真にPolarPlot_flower_21a を重ねた。
5.10.三十二花弁
5.10.1ダリアの園芸種
In[1]:=PolarPlot[Evaluate[Table[Abs[Sin[\[Theta]+i]],{i,0,2 Pi,2 Pi/32}]],{\[Theta],0,2 Pi},PlotStyle->Thick,ColorFunction->Function[{x,y,t,r},Hue[r]],Axes->False,RegionFunction->Function[{x,y,t,r},r<0.555],ColorFunctionScaling->False,PlotPoints->80,MaxRecursion->6]
Out[1]=
ダリヤも園芸種だが、更に花弁数が多い花もある。
金沢区 2023年7月17日
上記の写真にPolarPlot_flower_32 を重ねた。
5.11.三十三花弁
5.11.1花壇の花
In[1]:=(*PlotPoints\[Rule]15480,MaxRecursion\[Rule]15*)
Rotate[PolarPlot[Evaluate[Table[Abs[Cos[22\[Theta]/4+i]/Sin[22\[Theta]/4+i]],{i,0,2Pi,Pi/3}]],{\[Theta],0,2 Pi},PlotStyle->Thick,ColorFunction->Function[{x,y,t,r},Hue[r]],Axes->False,RegionFunction->Function[{x,y,t,r},r<0.55],ColorFunctionScaling->False,PlotPoints->15480,MaxRecursion->15],90Degree]
Out[1]=
花壇の花
金沢区 2023年7月26日
上記の写真にPolarPlot_flower_33 を重ねた。
5.12.三十四花弁
5.12.1ヒマワリ Sunflower 向日葵
In[1]:=Rotate[PolarPlot[Evaluate[Table[Abs[Sin[\[Theta]+i]],{i,0,2 Pi,2 Pi/34}]],{\[Theta],0,2 Pi},PlotStyle->Thick,ColorFunction->Function[{x,y,t,r},Hue[r]],Axes->False,RegionFunction->Function[{x,y,t,r},r<0.67],ColorFunctionScaling->False,PlotPoints->640,MaxRecursion->8],5.29412Degree]
Out[1]=
ヒマワリ Sunflower 向日葵
上記の写真にPolarPlot_flower_34b を重ねた。画像ソフトで種子に重なるPolarPlot_flower_34b をカット。した。
おまけ
曼陀羅にPolarPlot_flower_16dを適用した。
In[1]:=Rotate[PolarPlot[Evaluate[Table[Abs[Sin[\[Theta]+i]],{i,0,2 Pi,2 Pi/16}]],{\[Theta],0,2 Pi},PlotStyle->Thick,ColorFunction->Function[{x,y,t,r},Hue[r]],Axes->False,RegionFunction->Function[{x,y,t,r},r<0.83],ColorFunctionScaling->False,PlotPoints->6480,MaxRecursion->15],11.25Degree]
Out[1]=
曼陀羅
阿弥陀如来の背景は宇宙、銀河を使った。地球、太陽を含む銀河は定冠詞がついてThe Galaxyと書いて他の銀河と区別している。十数個の小さい銀河（マゼラン等）を子分として従えている。隣のアンドロメダ銀河もM32、M33等の子分を従えている。The Galaxyとアンドロメダ銀河を含めて局所銀河団と云う小銀河団を形成している。50億年後、The Galaxyとアンドロメダ銀河は合体して楕円銀河になる。アンドロメダ銀河は1.5倍大きいので吸収合併される。その頃太陽は水素の核融合の燃料切れになり、膨張後一転収縮して、白色矮星、赤色矮星、その後黒色矮星になる。その前の水素の燃料切れ後、ヘリウムの核融合が始まると膨張して、水星、金星、地球、火星は膨張した太陽に吸収され、人間の作った物、ゴミが残っていたら宇宙空間にばらまかれる。局所銀河団はおとめ座超銀河団に含まれる。この超銀河団は宇宙の中では何の変哲もない銀河団。つまり太陽は田舎の地方都市の外れに位置している。仏教の世界では弥勒菩薩は（釈梼没後）五十六億七千万年後、弥勒仏となって下向し、竜華樹の下で三会にわたって説法し、衆生を済度する話がある。仏教世界観によると，兜率天の1日は人間界の400年であり，そこの生き物の寿命はその年で測って4000年である。したがって，兜率天の生き物の寿命は人間界の年数に換算すると（1年を360日として）、360×400×4000＝5億7600万年となる。最初はおそらく弥勒は五億七千六百万年後に人間界に降るとされていたのであろうが、早くから五十六億七千万年という別の伝承が生じた。弥勒には未来仏の性格があることから、イランやその西方の救済者の思想の影響があるのではないかと考えられている。法顕によると、パミール山中に巨大な弥勒像ができたのを契機に、インドから中国に向かって仏教が伝播し、更に日本に辿り着いた。一方、大乗仏教が興起すると、出家、在家を問わず、衆生済度の利他行の実践が強調され，抽象的な仏の〈法〉のみならず、具象的なさまざまな仏の存在が求められるようになり、釈梼信仰が興る。しかし五十六億七千万年の未来はあまりの遠すぎるとして、仏国土に行けば仏に会えて、その場で往生できるという来世仏（他土仏）考えが起こり、西方の無量寿仏（阿弥陀仏）、東方の阿醗仏や薬師仏の浄土が想定された。これにともない観音、文殊、普賢などの菩醍信仰も高まった。さらに如来観が宇宙的に拡大して、華厳教の盧舎那仏（華厳経美術）や、密教の大日如来が出現し、それとともに多種類の変化菩醍や天部も仏教に摂取された。仏教世界観の一例が曼陀羅である。長い間宇宙を一つの宇宙Universeと考えられていたが、現代物理学では宇宙は一つではなく沢山ある、つまりMultiverse だと解いている。曼荼羅は空間を表現して、弥勒は時間を表現している。曼荼羅もあながち的外れではない。更に、宇宙は現在進行形で加速膨張しており、何れ原子、原子核、陽子、中性子は崩壊して最後は電子だけになる。何かの弾みでインフレーションが始まり、一つのこの世がまた輪廻する。
記章にPolarPlot_flower_12dを適用した。
In[1]:=Rotate[PolarPlot[Evaluate[Table[Abs[Sin[\[Theta]+i]],{i,0,2 Pi,2 Pi/12}]],{\[Theta],0,2 Pi},PlotStyle->Thick,ColorFunction->Function[{x,y,t,r},Hue[r]],Axes->False,RegionFunction->Function[{x,y,t,r},r<0.708],ColorFunctionScaling->False,PlotPoints->6480,MaxRecursion->15],15Degree]
Out[1]
記章
PolarPlot_flowerを使った造形は、晴れ舞台に登場する来賓の胸に付いている花に似ている。これは飾石付メダルをイメージしている。
完