０乗

2月13日付『読売新聞』の「よみうり寸評」欄に、「数学にはふしぎな定義がある。0に0をかければ0だが、0を0乗すると1になる。無から有が生まれるのだ。・・・」と紹介されて、１を愛するiinaが知らぬことだったので目を丸くした。
兎も角、調べると次のようだった。　[参照　aの0乗　]

どんな数でも　０乗すると１になることを証明します。
「かけ算」です。次々に掛けます。
　　　　　ａ¹＝ａ
　　　　　ａ^２＝ａ×ａ
　　　　　ａ^３＝ａ×ａ×ａ
　では反対に、次々に減らします。
　　　　　ａ^３＝ａ×ａ×ａ
　ここで、ａを１個へらすには、「かけ算」の反対の「わり算」をします。
　　　　　　　　 ａ×ａ×ａ
　　　　　ａ^２＝--------　＝ａ×ａ
　　　　　　　　　　 ａ
　続けます。
　　　　　　　　 ａ×ａ
　　　　　ａ^１＝-----　＝ａ
　　　　　　　　　 ａ
　そうすると、
　　　　　　　　　 ａ
　　　　　ａ^０＝-----　＝１
　　　　　　　　　 ａ　　　　　　　　　　　　　と約束するのが自然というものです。

　「たし算」で何にも足さなかったら「０」です。　でも、「かけ算」で何にも掛けなかったら「１」なのです。
　よく、「０からのスタート」といいますが、それは「たし算」の世界でのお話です。
　「かけ算」の世界では、「１からスタート」です。
　はじめに、ａが何にも掛けてなくて、つまり　ａを０個掛けてあって、これを「ａ^０」とかいて「１」とします。
　こんなぐあいに約束するのです。こんな風に考えるのが自然というものです。

　
こんな考え方もありました。
●　指数法則　●
　たとえば、ａを２回掛けたものと、ａを３回掛けたものを掛けると、ａをあわせて５回掛けたことになります。
　　　　　ａ^２×ａ^３＝ａ^５
　つまり
　　　　　ａ^２×ａ^３＝ａ^２＋３
　このことから、「ａ^０」　は次のように考えることができます。
　　　　　ａ^２×ａ^０＝ａ^２＋０

　そうすると、ａ^０＝１　でないと成り立ちません。
　ですから、どんなに　ａ^０＝０　にしたくてもダメなのです。


冒頭の「0の0乗」が１になるという話に戻します。
「0の0乗」は、数学的には単なる数学用語の組み合わせにすぎず特別な意味は持たない。標準的な数学の教科書においては、「0の0乗は定義されない」のだそうだ。つまり、a ≠ 0 でなければならない。
ただ、いくつかのプログラミング言語は　 ０^０＝１　と便宜上 定義している。　　[　参照　0の0乗　]
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