メモ5 (楕円曲線のランクの計算例)

　の有理点についてSilvermanとTateによる”Rational Points of Elliptic Curve”(1994年第2版。　以下、[Sil]と記述する。)に説明があった(p97からのExample 4)。それによると、

 

A. rankは2以下

B. p≡7　または　11(mod 16)のとき　rank　0

C. p≡3, 5,13,15 (mode) のとき　rank　１と予想されている。

D. p≡1(mod　8)のとき　rank 0 または　2　と予想されている。

 

AとB(p≡7(mod 16))は演習問題(p105の3.8)になっている。AとBは以下のようにしてわかる。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　先ず、[Sil]記載の関連事実を整理する。

 

①モ―デルの定理(P88)：

　Cを以下の方程式で与えられる整数係数3次非特異曲線とする。

　　

この時、C上の有理点のなす群C(Q)は有限生成アーベル群である。

 

②命題1　(P79)：

　CとC’を以下の式で与えられる整係数の楕円曲線とする。

　　　　　　　

ここで、   

T=(0,0)　とし、O, O’をアーベル群C, C'の零元とするとき

　(a)　以下で定義される準同型　Φ：C → C'　があり、その核は｛O,T}である。

 

 

 (b) 　(a)と同じプロセスをC'に施すと、Φ’：C'　→　C''　があり、C''は(x,y)→(x/4,y/8)によりCと同型である。したがって、以下で定義される準同型　ψ：C'　→　Cがある。

　

　また、　　は、2倍写像　　である。

                                                         

③命題2(P85, P91)：

　注：命題2と[Sil]に記されているわけではない。

C, C'は命題1と同じ楕円曲線、Γ=C(Q)、Γ’=C’(Q)とおき、rをΓのランク、

 

α：Γ　→　Q*/Q*2を

　α(O)=1　(mod　Q*2)

　α(T)＝b　(mod　Q*2)

　α(x,y)=x　　(mod　Q*2)

 

とし、α’:Γ’　→　Q*/Q*2も同様に定めるとき、以下が成り立つ。

 

　αは準同型である。また、=#α(Γ)・#α’(Γ’)/4　である。

 

④ランクの求め方（P93)

i.　かつy≠0　ならば　

  　ここで、はの約数　

と書ける。

ii.　したがって、方程式　ここで　　に解(M,e,N)、M≠0がある時、楕円曲線の有理点が見つかり、はαの値域に入ることになる。

 

 

以上の準備のもと、A.とB.を証明してみる。

今、　　　とする。

A.　rankは2以下 を示す。　Cについてb=pなので、　として1,-1,p,-pが考えられる。対応する方程式は

(i)　

(ii)　

(iii)　

(iv)　

 

である。(ii)と(iv)　にM≠０となる解はない。よって　(mod　Q*2)である。

C’ついて　b=-4pなので、　として±1、±2、±4、±p、±2p、±4pが考えられる。上と同様の考察により。考えるべき方程式は

(i)　

(ii)　

(iii)　

(iv)　

(v)　

(vi)　

(vii)　

(viii)　

(ix)　

(x)　

(xi)　

(xii)　

の12個である。よって、

(mod　Q*2)

である。ここで1と4、－1と―4、pと4p、-pと-4pはmod Q*2　で等しいので、　

(mod　Q*2)

である。

よって、③より、　=#α(Γ)・#α’(Γ’)/4≦２・8 / 4 =4　

したがって、r≦2　となる。

 

B. p≡7　または　11(mod 16)のとき　rank　0　を示す。

(i)　については　(M,e,N)=(1,0,1)　なる解がある。

(ii)　

　M偶数とするとNも偶数なので矛盾。したがって、Mは奇数。同様にNも奇数

　　　　e偶数とすると　　矛盾。

　　　　e奇数とすると　　矛盾。よって(ii)の解はない。

(iii)　　N偶数なので2N'とおく。M,eは奇数。

　　　より　　よって　p≡1または15(mod16)

(iv)　 N偶数なので2N'とおく。M,eは奇数

　　　よって、p≡1または３(mod16)

(vi)　　N,eは奇数　M偶数のとき　

　よってp≡1(mod8)　である。　

M奇数のとき　　よって、p≡5(mod8)である。

(vii)　　M,Nは奇数　e偶数のとき　　

よってp≡1(mod8)

e奇数のとき　よってp≡5(mod8）

(viii)　　M,Nは奇数　e偶数のとき　

よって、p≡7(mod8)

e奇数のとき　　p≡3(mod8)

(ix)　　　(iv)でM,eを入れ替えた式に相当する。よって、p≡1または３(mod16)

(x)　　　(iii)でM,eを入れ替えた式に相当する。よって、p≡1または15(mod16)

(xi)　　　(ii)でM,eを入れ替えた式に相当する。よって、(xi)の解はない。

 

以上より、p≡7　または　11(mod 16)のとき、(ii), (iii),(iv),(vi),(vii),(ix),(x)の解はない。

よって、 (mod　Q*2)

=#α(Γ)・#α’(Γ’)/4≦２・2 / 4 =1 より　r=0　となる。