メモ6 (ある楕円曲線の有理数解)

　いきなりであるが、素数pをp≡±1　(mod8)として　　　の位数∞の有理数解を考える。CoCalcを用いればすくなくともpが小さい時は、なんらかの解を出してくれる。

ところが、p=113とするとエラーとなってします。どうしたらよいか。

 

　またまた、話は変わって、本ブログの4次楕円曲線　その2　で素数pがp≡±1　(mod8)のとき、次の楕円曲線C

　 　

の有理数解のなすアベール群のランクは1であるとの予想を述べた。また、p<100についてCoCalcで求めた位数∞の有理数解の表を示した。ここで

 　

なる楕円曲線C'を考え、C,C'の有理数解のなす群をそれぞれC(Q)、C'(Q)とあらわすと

次式であらわされる写像　C(Q)→C'(Q)　がある。

 　

　この関係式を用いてCの有理数解からC'の有理数解を求めることを考える。

　p=113のとき、Cの位数無限大の有理数解を同じくCoCalcで求めると、どういうわけかエラーメッセージが出てしまうが、その中に、(x,y)=(-41,1020)が有理数解であることが示されている。この解を上記の関係式を用いて(T,U)に変換すると　(15361/144,-865045/1728)　が得られ、冒頭の問題が解決できた。尤も位数が∞であることを示す必要はあるが。