4次楕円曲線 その2

　その2と書いたが、以前書いた4次楕円曲線の記事とのつながりはない。また、内容のほとんでは、通常の3次の楕円曲線である。前置きはこれくらいにして、楕円曲線

　　　

　の有理点を考える。ここでmは平方因子を持たない自然数とする。mが正の有理数のときは、

　　　　ここでｍ’は平方因子を持たない自然数。aは有理数。 

とすれば

 　　

となるので、ｍが正の有理数のときでも平方因子を持たない場合に帰着できる。

 

　Q上の楕円曲線の有理点全体は有限生成アーベル群(モーデル・ヴェイユ群)であることが知られている。今、この群の階数(ランク)を考える。Cocalcによるｍ<100の結果から

 

予想

　　　ｍが奇数のとき、m≡1または7(mod8)の時、ランク1

　　　　　　　　　　　m≡3まはた5(mod8)の時、ランク0

　　　ｍが偶数のときは、改めて　2m　(mは平方因子を持たない奇数)と書き換えれば

　　　　　　　　　　　m≡５または7(mod8)の時、ランク1

　　　　　　　　　　　m≡１または３(mod8)の時、ランク0

を立ててみた。この予想の例外は、m<100では、m=21, 51, 85の時のみであり、その時のランクは2である。ちなみにm<100のモ―デル・ウェイユ群のランクと位数無限大の生成元は下表のとおりである(予想が成り立たない場合を黄色で網掛けした。）

上の予想は、mが奇素数のとき、m≡1まはた7(mod8)のときランク1、それ以外ではランク0となる。

反例があれば教えていただけれありがたいです。

　　　　

ちなみに、ｙの2乗がxの2次式のとき、つまり

　　

の場合は、(0, m)という有理数解があるので、有理数解をパラメータ表示できる。

 

xの4次式の場合、つまり

　　

のときは、式を変形して

　　

であり、

　　

は、4次楕円曲線の記事の方法でWeierstrass標準形に変形すると

　　

であり、この楕円曲線のランクは１であり、(-1,1/2)という位数無限大の生成元を有する。

　したがって、元の4次楕円曲線　　さらには、　についても、mが何であっても無限個の有理数解を有する。