タクシー数 その7

 

 

タクシー数(その7)

 

 タクシー数(その6)　の続きです。前回の結論は、2通りに2次体整数の6乗数の和としてあらわされる数を求めるには、

 

とおくとき、①から③が成り立てば十分であった(ただし、これは必要条件ではない）。

①　 が等しくなる整数の組(s,t)を求める。

今、tがsの2次式(sの2次の項の係数は1)であらわされると想定する。

 

に対しては、　とおくとき、t(26)＝121, t(38)=1 となるb,cを求めると

　となる。つまり、　である。

そこで、tをさらに限定して（ここでkは整数）で表わせるとして　なる組を求める。

 

であるので、　を整理すると

 

左辺をs-s’で割り、sの2次式として整理すると

 

この2次方程式が整数解を持たなければならないので判別式が自然数（D)の平方となる。つまり

よってとおくと

　　さらに　とおくと

である。そこで、こうなる整数の組でが13で割り切れるものを求めと、

　

かつ　

が13で割り切れ、かつ　偶奇が一致する　　　　(＊)

整数の組(m,n)となる　(最後の条件はkが整数であることから）。

(＊)は、m≡5nまたは７n　(mod13)　かつ　m≡n(mod2)となる。

これは、m≡5nまたは７n　(mod26)　と同値である。

したがって、m＝5n+26l または 7n+26l  である。

これら2つのケースに分けて、m、k, s', s,tを求めると以下のとおり。

 

②　　2次方程式を解いて、(s,t)　から　(x,y)　を求める。

なるx,yは、及びの解として求められる。すなわち

は及び

 

③　x,yが2次体整数の平方であらわされるかどうか確かめる。

一般に、整数ではない2次体の整数wについて、となるためには

となることが必要十分。これを上記x,yに適用すると

が平方数でなければ

となるU,Vが存在することが必要十分。

は2次方程式の解であるので

これをm≡5n(mod26)　と　m≡7n(mod26)の場合に分けてn,lで表示すると次表のとおりである。

次にUが自然数になる条件を求める。 

のとき

A.が自然数の平方になる場合を求める。

　として、の有理数解x,yを求めればよい。変形すると

　さらに変形すると

とおくと、これはの整数解を求めることに帰着する。

この整数解（の一部）は、M,Nを整数として符号を除き、となるので

 　よって、

または

 を得る。

 

　とおくと　または　　である。

 

ここで、または　が自然数の平方となる場合を求める。

今、が自然数の平方とすると、

より

が有理数の平方となる場合を求めればよい。

　の場合を考えると、これは

が有理数の平方、つまり楕円曲線

 

の有理点のを求めることに帰着する。このペアを整数とし絶対値が小さい場合を調べると、

はこの楕円曲線上の有理点(整数点)である。

のとき、　　したがって、としてよい。

この時、

 

よって、

また、

よって、

以上より、　を得る。

また、のとき、　したがって、としてよい。上と同様の計算で、　を得る。

　

上記楕円曲線が、上の2点以外の有理点を持てば、それに応じて、6乗数の和(片方は√がつく）で2通りに表される数が得られる。

 

長くなったので、が平方となる場合や

B. が自然数の平方になる場合は、別の機会とする。

 

結局、

という3乗数の和で二通り表わされるもののうち、3乗数が6乗数でもあるペアを求めていたことになる。