タクシー数

現在公開されているインドの数学者ラマヌジャンに関する映画にタクシー数のエピソードが出てくる。 これは、1729というタクシーのナンバープレートが、 　

と、2通りの自然数の3乗の和であらわさられる自然数のうち最小であることをラマヌジャンが見抜いたことに由来する。

2通りの自然数の3乗の和であらわされる数が無限にあるかどうか調べてみた。

恒等式

                            

が成り立つ。この右辺が,の対称式であることに注意すれば

　　　　　　　　　　

である。,を以上の相違なる整数とすれば、上式が相異なる立法数の和を示すことがわかる。

,として小さな値を与えた例を以下に示す。

なお、100,000以下の自然数が2通りの立法数の和として表せるのは以下の場合である。