x^2-y^2=pを満たす自然数x,yの組

解けてみると、思ったより簡単な答えでした。

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問

pを奇数の素数とするとき

x^2-y^2=pを満たす自然数x,yの組を求めよ。

略解

x^2-y^2=(x-y)(x+y)

p=1・p

と因数分解でき、

x,yが自然数であることに注意すれば

x-yよりx+yが大きいのでx+yには1より大きいpが対応する。

したがって、

x-y=1

x+y=p

と対応させることができる。

この連立方程式を解くと

x=(p+1)/2, y=(p-1)/2

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