ダ・ヴィンチ展と黄金比？

　ダ・ヴィンチ展の続きです。あれには例の「ウィトルウィウス的人体図」についての展示もあって、ヴィデオを使って黄金比や正七角形の作図方法が隠されているようなことを示しています。以前に私はあの人体図は黄金比とは関係がないって断言しちゃってるんで「まずいじゃん」って思って、何回かヴィデオを見てやっと「なーんだ」ってわかりました。

　ヴィデオはイタリアの科学史研究所・美術館の「The Mind of Leonard」の中にあるので見ていただければいいんですが、要点はこの人体図の（両手を伸ばした人体が内接する）正方形と（両手両足を斜めに伸ばした人体が内接する）円は黄金比で結びついているということです。具体的には正方形の１辺を１とすると円の半径は0.618だということです。

　ちなみに黄金比は通常１：1.618と理解されていますが、1.618の逆数は0.618、もっと正確には(1+√5)/2の逆数の2/(1+√5)＝(1+√5)/2－１ということです（ちょっと計算すればわかります）。

　でも、どうやって正方形と円が結びついたのかって言うと、正方形を半分にしてその中点にコンパスの針を置いて頂点までの幅で辺を延長してるんですね。……わはは、これって黄金比のいちばん簡単な作図方法じゃないですか（私のページのかなり最初に出てくる図そのものです）。つまりダ・ヴィンチは黄金比の関係が出るような図を作り、それに合うような人体を描いたってことでしょう。

　次にヴィデオはこの円に内接する正三角形の一辺に中心から垂線を下ろし、その長さで円弧を分割すると正七角形が作図できるようなことを示しています。これはもちろん明白な間違いで、定規とコンパスだけでは正七角形は作図できないことが証明されています。ただ計算してみるとおもしろいです。円の半径をｒとすると正三角形の一辺の半分はｒcosπ/6＝ｒ√3/2となって、0.8660です。一方、円に内接する正七角形の一辺の長さは2ｒsinπ/7で表せ、0.8677です。惜しいなあってところですか。

　さらにヴィデオはこうして描いた正七角形の一つおきの頂点を結んだ弦は正方形の一辺にほぼ等しいと言います。ほぼなんて言うところからいい加減ですが、こうした弦の長さは2ｒsin2π/7で表せるので、ｒ＝2/(1+√5)として計算すると0.9664です。うーん、こっちは惜しくもない感じですね。え？わりと近いだろって？なんか違うんですよね。こっちは√10＝3.1623がπにほぼ等しいって言ってるような感じがして。……こうやって見ていくとダ・ヴィンチってやっぱり手を動かしていろいろやってみるのが好きな人で、数学者や理論家じゃないなって感じですね。

　まあ、この人体図が黄金比に無関係だって書いたのは私の間違いでお詫びします。次回のサイトの更新の際にこの文章を補遺として追加したいと思います。

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