Continuing story of elementary mathematics-3
It's a small world
とあるところに数字が１桁しか使えない国がありました。
負数なんて知りません。
１桁なので０から９までの１０とおりしかありません。
一番大きい数は９．一番小さい数は０です。
城内に響き渡る声
お殿様 「じい！！じい！！なにをしておる、すぐ参れ」
じい 「ははぁ、殿、如何なされましたか」
お殿様 「じい、余はシャンシャンのぬいぐるみがほしいぞよ、今なら１両と書いてある、すぐに買ってまいれ」
じい 「殿、お言葉を返すようではありますが我が国は財政難、蔵には１両もございません」
お殿様 「嫌じゃ、余はシャンシャンが欲しいのじゃ、今日はシャンシャンと一緒に寝るのじゃ、今すぐ買ってまいれ！！」
じい 「殿、蔵には１両もございませぬ、ここはひとつ・・・」
お殿様 「嫌じゃ嫌じゃ、今すぐ買ってまいれ！！シャンシャンじゃ、シャンシャンが欲しいのじゃ！！」
控えの間。
じい 「お殿様のワガママには困ったものじゃ」
家臣 「しかしシャンシャンを買わなければ殿が・・・」
じい 「うむ、わかっておる。このうえは越後屋から１両借りるしかあるまい」
家臣 「なんと、そのようなことをすれば借金ということで帳簿は０よりも小さい金額を記さなけらばなりませぬぞ」
じい 「確かに、しかし我が国には０より小さい数などない。これでは越後屋から１両借りる訳にもいかぬ」
家臣 「困りました・・・」
突然、小学生が乱入。
じい、家臣 「なにものじゃ！！」
コナソ 「たったひとつの真実見抜く、見た目は子供、頭脳は大人、その名は名探偵コナソ！」
じい 「曲者じゃ、であえであえ！！」
コナソ 「ちょっとまって、お金がないから借金したいんだよね。なら簡単だよ。マイナスってつければいいなだよ」
家臣 「なんと、マイナスじゃと。我が藩に新しい記号を増やすような資金はない！！」
コナソ 「そんなことないよ。＋と－、それを今の桁の上に付けるだけだよ」
じい 「ならん！！そんなことをすれば大お殿様が作られた１桁の世を壊すことになる、断じてならん」
コナソ 「いまどき小学生でもマイナスぐらい知ってるよ、ひとつ上の桁に・・・」
じい 「切れ！！切り捨てぃ！！！」
ずばぁ、だぁぁ、ぐわぁぁ。
コナソ切られる。
じい 「ならん、桁を増やすなど断じてならん」
家臣 「御意」
じい 「お殿様のワガママには困ったものじゃ」
家臣 「しかしシャンシャンを買わなければ殿が・・・」
（以下、略）
突然音楽が流れる。
「タタタ、タン、タ、ターーン」
じい、家臣 「なにものじゃ！！」
ドラエモソ 「ぼく、ドラエモソ」
じい 「曲者じゃ、であえっ、であえっ～～！！」
ドラエモソ 「ほすう～～～」
じい 「なんじゃ」
ドラエモソ 「補数、これを使えば１桁しか無くても借金をできるんだ」
じい、家臣 「なんと！！」
ドラエモソ 「でも、条件があるよ」
じい、家臣 「なに！！」
ドラエモソ 「一番大きい数は５」
家臣 「何故！！」
ドラエモソ 「その代わり、借金も４までできるんだ」
じい 「少し待たれい」
じいと家臣が相談。
じい 「最大５とな」
家臣 「５ですな」
じい 「わしは６両などという金を見たことがない」
家臣 「６両と言えば田園調布に家が建ちまする、そのような大金は我が藩では夢のまた夢」
じい 「我が藩の財政として最大5両、借金が4両までできるというのは・・・」
家臣 「これなら殿にシャンシャンを献上することも夢ではございませぬ」
じい 「そうじゃな、これもお家のため・・・」
じいと家臣、ドラエモソと向き合う。
じい 「これ、ドラエモソとな、そちの補数とやらを使うぞよ」
その夜
お殿様 「シャンシャンじゃ、じい、シャンシャンぞよ」
じい 「は！！殿、シャンシャンにございまする」
お殿様 「今宵はシャンシャンと一緒じゃ、可愛いのう、おぉ、そうかそうか、もう眠いのか、じい、布団を敷けもう寝るぞよ、シャンシャン～～、くぁｗせｄｒｆｔｇｙふじこｗｗｗｗｗ」
お殿様はシャンシャンと一緒に寝て素敵な夢を見ましたとさ。
めでたし、めでたし。
これで当分は１桁だけで大丈夫ｗｗｗｗ
下らん寸劇はいいからちゃんと説明しろよ
はい、すみません・・・。
では当藩での計算方法をまとめておこう。
- 桁数は１０進数１桁。
- １から５まではプラスの数を表す。
- ６から９まではマイナスの数を表しマイナス符号が付いた数に戻す場合は１０を引く。
- 足し算はそのまま行う。
- 引き算は１０進数における１０の補数を足す。
１０の補数の計算
当藩の決まりの最後にある、１０進数における１０の補数。計算方法は以下。
b 進法において、自然数 a を表現するのに必要な最小の桁数を n としたとき、
b n − a を 「b 進法における a に対する基数の補数（b の補数）」
当藩では１０進数で桁数は１だから
１０ １ − a
＝ １０ − a
で計算できる。桁数が４桁だったら
１０ ４ − a
＝ １００００ − a
ということ。この計算、必ず桁借りが発生する。あぁ、面倒くさい。こんな時、桁借りが発生しない簡単な計算方法がる。暗算する時に使うあれ。
買い物をして１万円出した時おつりはいくら？
こういう時は１万円－１円の９９９９円から引いて最後に１円を足す。各桁がすべて９だから絶対に桁借りは発生しない。最後に１を足すときに繰り上がりが起きるけど桁借りするよりは計算しやすい。
で、この９９９９円から引くって
b n − a − 1 を「b 進法における a に対する減基数の補数（b - 1 の補数）
これ。
１０ ４ − a − １
＝ １００００ − a − １
＝ ９９９９ − a
基数の補数の計算は必ず桁借りが発生するが、減基数の補数の計算では絶対に桁借りが発生しない。
減基数の補数を基数の補数にするには１を足せばよい。
減基数の補数の使い道はこれだけ。他になし。（たぶん・・・）
減基数の補数が出てきたら「あぁ、引き算面倒くさいから減基数で計算してるのね。最後に１足すの忘れないでね」ぐらいにおもっていればよい。
次回予告
補数ごときで延々と書き散らしてきましたが次回は怒涛の最終回。「ここまで１０進数で考えてきたけど１０進数には致命的な欠点が！！我が藩の財政の行方は如何に！！」です。
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