時間tの関数f(t)をフーリエ変換すること、またラプラス変換することは、次式のような数学的演算を行うことです。
F(ω)=∫[-∞ ∞] f(t)・e^-jωt dt ----- ①
F(s) =∫[ 0 ∞ ] f(t)・e^-st dt ----- ②
式①がフーリエ変換、式②がラプラス変換です。
こうやって並べると、見れば見るほどそっくりですね。式が示す意味や目的が別物であるとは思えないくらい似ています。違うのは積分範囲と、指数のsとjωだけ。この「似ている」に着目して、この両者の関係をちょいと探ってみましょう。
いろいろ調べると、両者は似ていて当たり前、大胆に捉えると同じものと言えそうです。そもそもsはjωを虚数として持つ複素数で、①と②は1つの式に集約されます。
(sの実部と積分範囲によって両者に分かれる)
では複素数 s=δ+jω を使って両者を式③にまとめます。
F(s) =∫[-∞ ∞] f(t)・e^-(δ+jω)t dt ----- ③
式③において
δ=0 とすると、式③はフーリエ変換の式①になりますね。
δ>0 かつ積分範囲を[ 0 ∞ ]とした場合がラプラス変換です。
よってラプラス変換の式は次のようになります。
F(s) =∫[0 ∞] f(t)・e^-(δ+jω)t dt (δ>0) ----- ②-2
δ+jω=s として記述したものが、おなじみの
F(s) =∫[ 0 ∞ ] f(t)・e^-st dt ですね。
さて、式②-2を変形すると
F(s) =∫[0 ∞] f(t)(e^-δt)(e^-jωt) dt
となります。
ということは、ラプラス変換はフーリエ変換されるf(t)に更に e^-δt をかけたものということです。[t<0 においてf(t)=0 の場合]
何はともあれ s=δ+jω これがポイントです。
δ>0 であり、δ=0 に限りフーリエ変換ということですね。
【余談】
そもそも「数」=「複素数」です。
複素数には特殊な場合が2つあり、虚数部=0の場合が「実数」、実数部=0の場合が「虚数」ということですね。
関連記事:
jωとsのコラボ 2009-06-27
LCR回路の過渡特性 2009-05-11
F(ω)=∫[-∞ ∞] f(t)・e^-jωt dt ----- ①
F(s) =∫[ 0 ∞ ] f(t)・e^-st dt ----- ②
式①がフーリエ変換、式②がラプラス変換です。
こうやって並べると、見れば見るほどそっくりですね。式が示す意味や目的が別物であるとは思えないくらい似ています。違うのは積分範囲と、指数のsとjωだけ。この「似ている」に着目して、この両者の関係をちょいと探ってみましょう。
いろいろ調べると、両者は似ていて当たり前、大胆に捉えると同じものと言えそうです。そもそもsはjωを虚数として持つ複素数で、①と②は1つの式に集約されます。
(sの実部と積分範囲によって両者に分かれる)
では複素数 s=δ+jω を使って両者を式③にまとめます。
F(s) =∫[-∞ ∞] f(t)・e^-(δ+jω)t dt ----- ③
式③において
δ=0 とすると、式③はフーリエ変換の式①になりますね。
δ>0 かつ積分範囲を[ 0 ∞ ]とした場合がラプラス変換です。
よってラプラス変換の式は次のようになります。
F(s) =∫[0 ∞] f(t)・e^-(δ+jω)t dt (δ>0) ----- ②-2
δ+jω=s として記述したものが、おなじみの
F(s) =∫[ 0 ∞ ] f(t)・e^-st dt ですね。
さて、式②-2を変形すると
F(s) =∫[0 ∞] f(t)(e^-δt)(e^-jωt) dt
となります。
ということは、ラプラス変換はフーリエ変換されるf(t)に更に e^-δt をかけたものということです。[t<0 においてf(t)=0 の場合]
何はともあれ s=δ+jω これがポイントです。
δ>0 であり、δ=0 に限りフーリエ変換ということですね。
【余談】
そもそも「数」=「複素数」です。
複素数には特殊な場合が2つあり、虚数部=0の場合が「実数」、実数部=0の場合が「虚数」ということですね。
関連記事:
jωとsのコラボ 2009-06-27
LCR回路の過渡特性 2009-05-11
※コメント投稿者のブログIDはブログ作成者のみに通知されます