２つの立方数の和を2とおりであらわす恒等式はラマヌジャンのものがよく知られています。3とおりのバージョンはないか、いろいろやってみたところ、次のu.vの恒等式を見つけました。残念ながら、これらの6つの数が同時に正整数となることはありません。
2つの自然数の3乗和を3とおりで表せるケースはなかなかないので、簡単なパラメータ解はないのかもしれません。
( 15*u^2 + 77*u*v + 112*v^2 )^3 + ( 9*u^2 + 31*u*v + 14*v^2 )^3
= ( 18*u^2 + 91*u*v + 126*v^2 )^3 + ( -12*u^2 - 67*u*v - 84*v^2 )^3
= ( 16*u^2 + 77*u*v + 105*v^2 )^3 + ( 2*u^2 + 31*u*v + 63*v^2 )^3
= (342) * (u^2 + 4*u*v + 7*v^2) * (3*u^2 + 18*u*v + 28*v^2) * (4*u^2 + 18*u*v + 21*v^2)