前回の問題の証明

集合A,B,Cについて、

(1) A∪B⊃A, A∪B⊃B
(2) A∩B⊂A, A∩B⊂B
(3) (A∩B)∪C = (A∪C)∩(B∪C)
(4) (A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)

を証明せよ。

[証明]

(1) Aの任意の元aについて、a∈A∪Bであるので、A∪B⊃Aである。
A∪B⊃Bも同様。

(2) A∩Bの任意の元aについて、a∈A かつ a∈Bより、
A∩B⊂Aであり、A∩B⊂Bである。

(3) a∈(A∩B)∪C
⇔ a∈A∩B or a∈C
⇔ (a∈A and a∈B) or a∈C
⇔ (a∈A or a∈C) and (a∈B or a∈C)
⇔ (a∈A∪C) and (a∈B∪C)
⇔ a∈(A∪C)∩(B∪C)

(4) (3)と同様