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2012年東北大入試理系数学第1問その2

2012-06-27 17:11:41 | 大学入試問題
どもども。

前回に続いて今年の東北大入試理系数学第1問をやっていきます

問題はこちら


前回:http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/33187e612de08726a749204fe231aac2

s,tという2つのパラメータに依存してx,yが動くという状況でした~
(2)を今回はやりますよ~

基本的には前回と同じ手法が使える(考え方4は使えないっすね)ので,前回と同じ解法の順序でやっていってみましょう~

考え方1
(X,Y)という点が答えの領域に含まれているならば X=st+s-t+1,Y=s+t-1 を満たす
何かしらの実数s,tが存在するはずだ,それを具体的に求めてしまうことでそのようなs,tの存在性を実証しよう,
こういう発想でやってみます

s,tについて解いてしまえばいいんですが2次方程式が出てくるので,
その解は√を含んだ式になってしまいます。
根号内が非負でありさえすれば,その解は実数になるので
判別式≧0をすればよいわけですね






考え方2
2つもあるパラメータが邪魔なので一旦1つにしてしまう方針です
x=st+s-t+1……,y=s+t-1……
からsを消去すると
x=(y-t+1)t+(y-t+1)-t+1……
が出てきます。tを消去すると
x=s(y-s+1)+s-(y-s+1)+1……
が出てきます。

かつを考える代わりに
かつを考えるのですが
ちょっと面倒そうなので,更に代わりに
かつ 」を考えることにします

から,y={1/(t+1)}x-{2/(t+1)}+tが得られますが,
分母が0になるt=-1の場合は別に考えなきゃいけません。
まずはt≠-1の場合について考えます
tがあれこれ動いたときに,直線x=x_0上でyがどのような範囲を動くのか考察します。



x_0と2の大小によって状況が変わるようですね



x_0=2のときは,そもそもf(t)=tになってしまいます



次はt=-1の場合を考えます。このときは直線x=2を表すみたいです




あとはまとめればOKですね
ただしについても触れなくてはいけません。
tが実数全体を動いたときにを満たす(x,y)の存在域は上の考察から分かりますが
その領域上の各点(X,Y)とtに対してsをによって定めることが出来るので
かつ」を満たす(x,y)の存在域もまた上で求めた領域と一致してしまいます





ちなみに,「かつ」を考えると,
どちらも同じ領域が出てきます

xをx=x_0に固定するのではなく,yをy=y_0に固定してもOKです,
というかそっちのほうが2次関数なので簡単です
その場合の計算はほぼ次に挙げる解法と変わらなくなります~


考え方3
すべての実数を動くs,tを変数とする2変数関数y(s,t)=s+t-1の値域は全実数です。
そこでYを定数として,y(s,t)=Yを満たすs,tに限定してx(s,t)=st+s-t+1の値域を考える方針です

s=-t+Y+1であるので,x(-t+Y+1,t)の値域を考えればよいわけですね




考え方4
2次方程式が実数解を持つ条件の議論を利用した解法です。
まぁ,考え方1と大体同じですが~

s-1とt+1の和と積が与えられているとみなします



あとは図を描くだけですね


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