2012年東北大入試理系数学第1問その2

どもども。

前回に続いて今年の東北大入試理系数学第1問をやっていきます

問題はこちら


前回：http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/33187e612de08726a749204fe231aac2

ｓ，ｔという2つのパラメータに依存してｘ，ｙが動くという状況でした～
(2)を今回はやりますよ～

基本的には前回と同じ手法が使える（考え方４は使えないっすね）ので，前回と同じ解法の順序でやっていってみましょう～

考え方１
(X，Y)という点が答えの領域に含まれているならば X=st+s-t+1，Y=s+t-1 を満たす
何かしらの実数s，tが存在するはずだ，それを具体的に求めてしまうことでそのようなｓ，ｔの存在性を実証しよう，
こういう発想でやってみます

ｓ，ｔについて解いてしまえばいいんですが２次方程式が出てくるので，
その解は√を含んだ式になってしまいます。
根号内が非負でありさえすれば，その解は実数になるので
判別式≧０をすればよいわけですね






考え方２
２つもあるパラメータが邪魔なので一旦１つにしてしまう方針です
ｘ=st+s-t+1……，ｙ=s+t-1……
からｓを消去すると
ｘ=(y-t+1)t+(y-t+1)-t+1……
が出てきます。tを消去すると
ｘ=s(y-s+1)+s-(y-s+1)+1……
が出てきます。

「かつ」を考える代わりに
「かつ」 を考えるのですが
ちょっと面倒そうなので，更に代わりに
「かつ 」を考えることにします

から，y＝{1/(t+1)}x-{2/(t+1)}+tが得られますが，
分母が０になるｔ＝－１の場合は別に考えなきゃいけません。
まずはｔ≠-1の場合について考えます
ｔがあれこれ動いたときに，直線ｘ＝ｘ_0上でｙがどのような範囲を動くのか考察します。



ｘ_0と２の大小によって状況が変わるようですね



ｘ_0＝２のときは，そもそもf(t)=tになってしまいます



次はｔ＝－１の場合を考えます。このときは直線ｘ＝２を表すみたいです




あとはまとめればOKですね
ただしについても触れなくてはいけません。
ｔが実数全体を動いたときにを満たす（ｘ，ｙ）の存在域は上の考察から分かりますが
その領域上の各点（X,Y）とｔに対してｓをによって定めることが出来るので
「かつ」を満たす（ｘ，ｙ）の存在域もまた上で求めた領域と一致してしまいます





ちなみに，「かつ」を考えると，
どちらも同じ領域が出てきます

ｘをｘ＝ｘ_0に固定するのではなく，ｙをｙ＝ｙ_0に固定してもOKです，
というかそっちのほうが2次関数なので簡単です
その場合の計算はほぼ次に挙げる解法と変わらなくなります～


考え方３
すべての実数を動くｓ，ｔを変数とする２変数関数ｙ(s,t)=s+t-1の値域は全実数です。
そこでＹを定数として，ｙ(s,t)＝Ｙを満たすｓ，ｔに限定してx(s,t)=st+s-t+1の値域を考える方針です

ｓ＝-t+Y+1であるので，x(-t+Y+1,t)の値域を考えればよいわけですね




考え方４
2次方程式が実数解を持つ条件の議論を利用した解法です。
まぁ，考え方1と大体同じですが～

ｓ－１とｔ＋１の和と積が与えられているとみなします



あとは図を描くだけですね