ファインマン流物理がわかるコツ 演習問題 5-2

全体の質量を M
弾丸の質量を m とします．
弾丸発射後
標的に当たるまでの支持台の質量は M - m です．
外から見たその間の支持台の速度を v
弾丸の速度を -v' とします．
運動量は保存するので
0 = (M - m)v - mv'
です．
支持台に対する弾丸の速度を -V とすると
V = v' - v
です．
v' を消去すると
v = mV /(M - 2m)
です．
支持台の長さを l とすると
時間 t = l / V 後に弾丸は標的に当たります．
弾丸を 1 個発射するたびに
支持台は t の時間だけ v で進み止まります．
すなわち
vt = ml /(M - 2m)
進みます．
1 秒に 10 個発射するので
この 10 倍進みます．
したがって速度は
10ml /(M -2m)
です．
M = 10000, m = 0.1, l = 5 を代入すると
支持台の進む平均速度は
5 × 10^-4
となります．

ファインマン流物理がわかるコツ 演習問題 5-1

衝突した滑体の質量を m
静止していた滑体の質量を rm とします．
衝突前の衝突した滑体の速度を v
衝突後の衝突した滑体の速度は -v'
静止しいていた滑体の速度は v' とします．
運動量は保存するので
mv = - mv' + rmv'
v = (r - 1)v'
です．
完全弾性衝突なので運動エネルギーも保存しますから
mv^2 / 2 = mv'^2 / 2 + rmv'^2 / 2
v^2 = (1 + r)v'^2
です．
v, v' を消去し r について解くと
r = 3 となります．

ファインマン流物理がわかるコツ 演習問題 4-5

地球上での重力加速度を g
月面での重力加速度を g_M
石の質量を m とします．
g_M = g / m です．
石が下降する加速度を a
ひもにかかる張力を T とすると
石の運動方程式は
ma = mg_M - T
錘の運動方程式は
a = T - g_M
です．
T を消去すると
(m + 1)a = (m - 1)g_M
となります．
g_M = g / m を代入すると
m の 2 次式
am^2 + (a - g)m + g = 0
となります．
a = 1.2, g = 9.8 を代入して解くと
m = 1.4, 5.7
の 2 つが解となりますが
6 に近いはずですから
5.7 となります．

ファインマン流物理がわかるコツ 演習問題 4-4

(a)
全体の上向きの加速度を a
下向きの重力加速度を g とします．
人の質量を m_1
いすの質量を m_2 とします．
いすにかかる力を N
ひもにかかる張力を T とします．
人の運動方程式は
m_1a = - m_1g + N + T
いすの運動方程式は
m_2a = - m_2g - N + T
です．
a について解くと
a = ((m_2 - m_1)g + 2N)/(m_1 - m_2)
となります．
m_1 = 180, m_2 = 30, N = 100g を代入すると
a = g / 3
です．

(b)
滑車にかかる力は
2T = 2(4m_1g/3 - N) = 280g
です．

ファインマン流物理がわかるコツ 演習問題 4-3

重力の位置エネルギー mgh と
運動エネルギー (2M + m)v^2/2 が等しい．
したがって
g = (2M + m)v^2/(2mh)
です．

ファインマン流物理がわかるコツ 演習問題 4-2

力 F により全体は右方向に加速度 a = F /(M + M_1 + M_2) で進みます．
M_1 と M_2 を結ぶひもにかかっている張力を T とします．
重力加速度を g とします．
M_2 にはたらく上下方向の力はつりあっているので
T = M_2g
となります．
M_1 は右方向に加速度 a で進むはずですから
M_1 の水平方向の運動方程式は
M_1a = T
となります．
a = F /(M + M_1 + M_2)
と
T = M_2g
代入すると
F = M_2(M + M_1 + M_2)g / M_1
となります．

ファインマン流物理がわかるコツ 演習問題 3-7

ロケットの加速度を a_R
ジェットの加速度を a_J とします．
1 周するのにかかった時間を 3t とすると
ロケットは 2t の間，加速度 a_R で加速し
その後 t の間，速度 2a_Rt で進みます．
ジェットは 3t の間，加速度 a_J で進みます．
両者が 3t の間に進む距離が等しいということは
a_R(2t)^2/2 + 2a_Rt^2 = a_J(3t)^2
ということですから
a_J=8a_R/9
となります．

ファインマン流物理がわかるコツ 演習問題 3-6

出発点での速度を v_0，加速度を a とすると
時間 t における走行位置 x は
x = at^2/2 + v_0t
です．
与えられている 2 組の条件
t = 16 で x = 0.1
t = 16 + 8 で x = 0.2
を代入してできる連立一次方程式を解きます．

ファインマン流物理がわかるコツ 演習問題 3-4

板の上 h から自由落下させたとき
板にあたる時間 t_0 は
t_0 = √(2h/g)
です．
バウンドして
速度が e 倍になると
上がるのにかかる時間は e 倍
同じ時間かかって落ちてくるので
上がって落ちてくるのにかかる時間 t_1 は
t_1 = 2et_0
です．
以降バウンドするたびに
e 倍の時間をかけて上がって落ちてきます．
したがって時間の合計 t は
t = t_0 + 2et_0 + 2e^2t_0 + 2e^3t_0 + ・・・
です．
これは
t = - t_0 + 2t_0 (1 + e + e^2 + ・・・)
とまとめることができます．
カッコ内は初項 1，公比 e の無限等比級数の和
1/(1-e)
です．
これを代入すると
t = - t_0 + 2t_0 /(1 - e)
です．
したがって
e = 1 - 2t_0 /(t + t_0)
t_0 = √(2h/g) を代入すると
e = 1 - 2√(2h/g) /(t + √(2h/g))
です．
t = 30 s, g = 9.8 m/s^2, h = 0.5 m を代入すると
e = 0.98
と求められます．

ファインマン流物理がわかるコツ 演習問題 3-5

速度 v で投げたときの最長到達距離 l を求めることと等価です．
斜め上 45 度の方向に投げ上げたときに最も遠くまで届き
重力加速度を g とすると l = v^2/g です．
したがって v は v = √(gl) となり
g = 9.8 m/s^2, l = 22.5 m を代入すると
v = 14.8 m/s と求められます．