[ループ・ホモトピー同値類]
＜定義＞
道c(t):I→X s.t. c(0)=c(1)
⇔
cはループ
c(0)はループの基点
c1～c2,∀P∈I,c1(P)=c2(P) ⇒ c1とc2のループは同じ種類
[c]はホモトピー同値類
＜命題＞
２つの位相空間(X,τ),(Y,τ')が位相同型
f:X→Y 同相写像 ∀P∈X,∀Q∈Y s.t.
XにおいてPを基点とするループの種類を数えることは,
YにおいてQ=f(P)を基点とするループの種類を数えることと等価である.
(証明)
I=区間[0,1], s,t∈I, F:I×I→X 連続写像 とする.
Pを基点とするループc1,c2がホモトープであり,
F(s,t)をc1とc2の間のホモトピーであるとする.
F(0,t)=c1,F(1,t)=c2である.
c1,c2を写像fで,Yへ移したものをd1=f(c1),d2=f(c2)とする.
d1,d2は,Yにおける,Qを基点とするループである.
G:I×I→Y 写像とし, G(s,t)=f(F(s,t))と決める.(G=f・F)
fは同相写像であることから,連続写像であり,Fは定義から連続写像であるので,
Gもまた,連続写像である.
さらに,
G(0,t)=f(F(0,t))=f(c1)=d1
G(1,t)=f(F(1,t))=f(c2)=d2
であるから,G(s,t)は,d1とd2の間のホモトピーである.
したがって,以上を整理すると,
c1～c2 ⇒ d1～d2
である.
＜claim＞
ホモトピー同値類は位相不変量が完全ではない.
(証明)
位相同型ではないが,ホモトピー同値類の個数は同じである,
２つの位相を考えればよい.（円と球など）
＜定義＞
道c(t):I→X s.t. c(0)=c(1)
⇔
cはループ
c(0)はループの基点
c1～c2,∀P∈I,c1(P)=c2(P) ⇒ c1とc2のループは同じ種類
[c]はホモトピー同値類
＜命題＞
２つの位相空間(X,τ),(Y,τ')が位相同型
f:X→Y 同相写像 ∀P∈X,∀Q∈Y s.t.
XにおいてPを基点とするループの種類を数えることは,
YにおいてQ=f(P)を基点とするループの種類を数えることと等価である.
(証明)
I=区間[0,1], s,t∈I, F:I×I→X 連続写像 とする.
Pを基点とするループc1,c2がホモトープであり,
F(s,t)をc1とc2の間のホモトピーであるとする.
F(0,t)=c1,F(1,t)=c2である.
c1,c2を写像fで,Yへ移したものをd1=f(c1),d2=f(c2)とする.
d1,d2は,Yにおける,Qを基点とするループである.
G:I×I→Y 写像とし, G(s,t)=f(F(s,t))と決める.(G=f・F)
fは同相写像であることから,連続写像であり,Fは定義から連続写像であるので,
Gもまた,連続写像である.
さらに,
G(0,t)=f(F(0,t))=f(c1)=d1
G(1,t)=f(F(1,t))=f(c2)=d2
であるから,G(s,t)は,d1とd2の間のホモトピーである.
したがって,以上を整理すると,
c1～c2 ⇒ d1～d2
である.
＜claim＞
ホモトピー同値類は位相不変量が完全ではない.
(証明)
位相同型ではないが,ホモトピー同値類の個数は同じである,
２つの位相を考えればよい.（円と球など）
