肩のねじれを防ぐ Quaternion を求める[Blender 3DCG]

Quaternion の回転式の展開[Blender 3DCG]の続き

今回は肩のねじれを防ぐ Y=0 の Quaternion(W,X,0,Z) を求める。

もう少し具体的に説明すると

肩を y≠0 の Quaternion(w,x,y,z)で回転させた時と
肩を Y＝0 の Quaternion(W,X,0,Z)で回転させた時で、
腕の方向が一致するような W,X,Z を w,x,y,z から求める。
( 英文字の小文字と大文字の違いに注意 )

腕の方向は、肩の Bone の Y軸方向(0,1,0) と同じなので、
(0,1,0)を回転させた結果が一致する場合について考える。

前回求めた Quaternion(w,x,y,z) の回転式の展開結果に
(p,q,r)=(0,1,0) を代入すると、qの項目のみ残るので以下となる。

(w,x,y,z)(0,0,1,0)(w,-x,-y,-z)=(0,2xy-2wz,ww-xx+yy-zz,2yz+2wx ) …①

同様に Quaternion(W,X,0,Z) の回転結果は以下となる。

(W,X,0,Z)(0,0,1,0)(W,-X, 0,-Z)=(0,   -2WZ,WW-XX   -ZZ,    2WX ) …②

②=①なので

-2WZ     = 2xy-2wz     …③
WW-XX-ZZ = ww-xx+yy-zz …④
2WX      = 2yz+2wx     …⑤

回転に用いる Quaternion は各項目の２乗和が 1 になるので

WW+XX   +ZZ-1=0 …⑥
ww+xx+yy+zz-1=0 …⑦

④左と⑥より

   WW-XX-ZZ
 = WW-XX-ZZ + WW+XX+ZZ-1
 = 2WW-1 …④左'

④右と⑦より

   ww-xx+yy-zz
 = ww-xx+yy-zz + ww+xx+yy+zz-1
 = 2ww+2yy-1 …④右'

④左'=④右'を解き W を得る。( ^ はべき乗 )

  2WW-1=2ww+2yy-1
  2WW  =2ww+2yy
   WW =  ww+ yy
    W = (ww+ yy)^0.5 … ⑧

次に ③ と W から Z を得る。

-2WZ = 2xy-2wz
 2WZ = 2wz-2xy
  WZ =  wz- xy
   Z = (wz- xy)/W = (wz- xy)/((ww+yy)^0.5)

次に ⑤ と W から X を得る。

 2WX = 2yz+2wx
  WX =  yz+ wx
   X = (yz+ wx)/W = (yz+wx)/((ww+yy)^0.5)

まとめると以下となる。
( X の wx と yz の順は Z に合わせて入れ替えた。)

W=         (ww+yy)^0.5
X=(wx+yz)/((ww+yy)^0.5)
Z=(wz-xy)/((ww+yy)^0.5)

Blenderのpythonで、アクティブなボーンのQuaternionのYを0にするコードは以下。

w,x,y,z = bpy.context.active_pose_bone.rotation_quaternion
W =            (w*w+y*y)**0.5
X = (w*x+y*z)/((w*w+y*y)**0.5)
Y = 0.0
Z = (w*z-x*y)/((w*w+y*y)**0.5)
bpy.context.active_pose_bone.rotation_quaternion = Quaternion((W,X,Y,Z))

これを使用したのが肩のポージングは難しい[Blender 3DCG] と 以下の絵。

わきの下の皺に悩まされずにポージングできるようになった。
「これで肩だしにも自信が持てます！」
（なんだかエステの体験談みたいだ＾＾；）

最後に…
T字型の基本姿勢(腕を真横に伸ばした基本姿勢)でしか試したことがないため、
その他の基本姿勢でうまくいくかどうかは定かではない＾＾；