太陽系の目に見える惑星の軌道はすべて の値が比較的小さい(つまり、 、) ため、優れた近似として、これらの軌道は離心円、つまり太陽と完全に同心ではない円として表すことができます。言い換えれば、惑星の軌道の楕円率は離心率と比較して無視できるということです。これはまさにプトレマイオスが『アルマゲスト』で行っていることです。つまり、天体が円を描いて動くというプトレマイオスの仮定は、一般に考えられているように彼のモデルの主な弱点ではなく、実際には主な強みの 1 つなのです。
ケプラーの惑星運動の第二法則
ケプラーの惑星運動の第二法則
アルマゲストにおけるプトレマイオスの目的は、地球から見た太陽系の運動モデル を構築することでした。言い換えれば、アルマゲストは、太陽、月、惑星の地球に対する見かけの動きを説明する比較的単純な幾何学モデルを概説していますが、 これらの動きが発生する理由を説明しようとはしていません（この点では、コペルニクスとケプラーのモデルは似ています）。したがって、アルマゲストで説明されているモデルが本質的に地球中心であるという事実は、地球がそれ自身の基準系内で静止しているため、問題にはなりません。これは、太陽中心説に利点がないということではありません。後で説明するように、太陽中心説の仮定により、コペルニクスは初めて太陽系のさまざまな惑星の平均半径の比を決定することができました。
ケプラーの研究から、惑星の軌道は実際には 太陽と共焦点の楕円であることがわかっています。このような軌道には、2 つの主な特性があります。1 つ目は、軌道が離心率であることです。つまり、太陽は軌道の幾何学的中心からずれています。2 つ目は、軌道が楕円形であることです。つまり、軌道は特定の軸に沿って引き伸ばされています。ケプラーの軌道は、離心率と呼ばれる量 によって特徴付けられます。離心率は、軌道の真円度からの偏差を測定します。ケプラーの軌道の離心率は に比例し、対応する引き伸ばしの度合いは に比例することは簡単に実証できます。太陽系の目に見える惑星の軌道はすべて の値が比較的小さい(つまり、 、) ため、優れた近似として、これらの軌道は離心円、つまり太陽と完全に同心ではない円として表すことができます。言い換えれば、惑星の軌道の楕円率は離心率と比較して無視できるということです。これはまさにプトレマイオスが『アルマゲスト』で行っていることです。つまり、天体が円を描いて動くというプトレマイオスの仮定は、一般に考えられているように彼のモデルの主な弱点ではなく、実際には主な強みの 1 つなのです。
ケプラーの惑星運動の第二法則は、惑星と太陽を結ぶ動径ベクトルが等面積を等時間間隔で掃引することを述べています。惑星の軌道が偏心円として表される近似では、この法則は、典型的な惑星が不均一な速度で太陽の周りを公転することを意味しています。しかし、惑星と太陽を結ぶ動径ベクトルの不均一な回転は、惑星と、いわゆる等角点(つまり、軌道の幾何学的中心に対して太陽の真向かいの点) を結ぶ動径ベクトルの均一な回転を意味することは簡単に実証できます (図1 を参照)。プトレマイオスは等角点のスキームを経験的に発見し、それを使用して彼のモデルで惑星の不均一な回転を制御しました。実際、この発見はプトレマイオスの名声の主な要因の 1 つです。
以上の議論から、プトレマイオスの地動説モデルは、さまざまな惑星の軌道が偏心 円として表され、特定の惑星とそれに対応する偏心円を結ぶ動径ベクトルが一定速度で回転する太陽中心モデルと同等であることがわかる。実際、プトレマイオスの惑星運動モデルは、惑星の偏心率に関して 一次の精度を持つケプラーのモデルの一種と考えることができる（第 4 章を参照）。プトレマイオスの体系によれば、地球から見ると、太陽の軌道は単一の円運動で表され、惑星の軌道は2 つの円運動の組み合わせで表される。実際には、太陽の単一の円運動は、太陽の周りの地球の（近似的な）円運動を表し、典型的な惑星の 2 つの円運動は、太陽の周りの惑星の（近似的な）円運動と、太陽の周りの地球の運動の組み合わせを表している。ちなみに、プトレマイオスの方式では、観測データにある程度正確に適合させるためには途方もなく多くの円が必要であるという一般的な神話には、事実の根拠がありません。実際には、データに非常によく適合するプトレマイオスの太陽と惑星のモデルには、12 個の円 (つまり、6 つの従円と 6 つの周転円) しか含まれていません。
プトレマイオスは、アリストテレス哲学の信条に盲目的に従い、それが彼のモデルに全体的な悪影響を及ぼしているとしばしば非難されている。しかし、プトレマイオスの慣習的な天動説にもかかわらず、彼の太陽系モデルは、いくつかの非常に重要な点で正統派のアリストテレス主義から逸脱している。まず第一に、アリストテレスは、純粋に哲学的な観点から、天体は単一の均一な円を描いて運動するはずだと主張した。しかし、プトレマイオスの体系では、惑星の運動は2 つの円運動の組み合わせである。さらに、これらの運動の少なくとも 1 つは不均一である。第二に、アリストテレスは、これも純粋に哲学的な立場から、地球は 宇宙のまさに中心に位置し、すべての天体はその周りを同心円を描いて公転しているとも主張した。しかし、プトレマイオスの体系では、地球は宇宙の中心からわずかにずれている。実際、宇宙の中心は一つではありません。太陽の円軌道と惑星の円偏角はすべてわずかに異なる幾何学的中心を持ち、そのどれもが地球と一致しないからです。アルマゲストに記述されているように、プトレマイオスのモデルの非正統的側面（アリストテレス哲学の観点から）は、最終的には観察によって決定されました。これは、プトレマイオスの世界観はアリストテレス哲学に基づいていたものの、観察データによって要求された場合、彼はこの立場から逸脱することを躊躇しなかったことを示しています。
太陽中心説の観点からは、プトレマイオスのモデルにおける上位惑星（つまり、地球よりも太陽から遠い惑星） の周転円は実際には太陽の周りの 地球の軌道を表し、従円は太陽の周りの惑星の軌道を表すことが容易に理解できます（図 29 を参照）。したがって、上位惑星の周転円はすべて同じサイズ（つまり、地球の軌道のサイズ）であるはずであり、周転円の中心と惑星を結ぶ半径ベクトルはすべて、地球と太陽を結ぶベクトルと 同じ方向を指すはずです。
また、プトレマイオスのモデルでは、内 惑星（つまり、地球よりも太陽に近い惑星）の偏円は実際には太陽の周りの 地球の軌道を表し、周転円は太陽の周りの 惑星の軌道を表していることもわかります（図33 を参照）。したがって、内惑星の 偏円はすべて同じサイズ（つまり、地球の軌道のサイズ）で、周転円の中心（地球に対する）はすべて太陽の位置（地球に対する）に対応するはずです。
図 1: ヒッパルコス (およびプトレマイオス) の太陽の地球を回る見かけの軌道モデル (右) と最適モデル (左) の比較。両方のモデルの半径ベクトルは均一に回転します。ここでは、太陽、地球、軌道の幾何学的中心、等角点、近地点、遠地点です。軌道の半径は 1 に正規化されています。
上で概説した太陽系の地球中心モデルは、太陽の周りの惑星の実際の動きに関する知識に基づいて構築された、プトレマイオスのモデルの完成版です。当然ながら、アルマゲストで実際に説明されているモデルは、この理想的な形から多少逸脱しています。以下では、これらの逸脱を「エラー」と呼びますが
