◇サイクロイド、最速降下曲線

*曲線のひとつに「サイクロイド」というのがある。
バイクのタイヤが地面と接している点に印をつけて、タイヤを一周させたときの軌跡が、「サイクロイド」となる。上下をひっくり返すと、上図のようになる。

降下問題」というのがある。
一様な重力場[重力加速度 g]において、静止している状態から、原点から出発し、重力を利用し、右に X 、下にも X 移動した点P まで下りていくとする。

次の3つの経路で下りたとき、どの経路が最も早く下りる事ができるか。

① 直線
② 円　(1/4)*円
③ サイクロイド　(始点とサイクロイドの最も高い点とを一致させる)

サイクロイドが最も早く下りれると、物理の本にはよく書いてある。では、実際、どのくらいの時間がかかるのかは、書いてない。
計算してみた。
結果、

① 直線　　　　　2*root(X/g)
② 円　　　　　　1.85*root(X/g)
③ サイクロイド　1.83*root(X/g)

円もサイクロイドも、まず初めに真下に落ちて、より早く速さを得るので、より短い時間で下りる事ができる。ただ、距離は長くなるので、そのかねあいで、サイクロイドが最も早く下りる事ができる。

最速降下曲線
サイクロイド
半球内の運動