晴彷雨読

宇宙、物理、pcx150、登山、ボルダリング

◇英語の発音 u u:

2018年01月10日 | ◇お勉強
英語の発音
good , food の中の [u:] は「ウー」に近いのですが、
cook の中の [u] は「ウ」ではなく、「ウ」と「オ」の中間なのですね。
だから、cook を 「コック」と言ったり、「クック」と言ったりするんですね。
知らなかった。たぶん教えてもらってない気がする。

oo を [u] と言う単語は少ないのかな。 book しか思いつかない。
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◇ xのx乗

2018年01月05日 | ◇お勉強
正の実数 x に対して xのx乗=x^x について考える。

x=3 のとき 3を3個掛けて 3^3=3*3*3=27
x=2 のとき 2を2個掛けて 2^2=2*2=4
x=1 のとき 1^1=1

x=0.5 のとき 0.5^0.5=root(0.5)=root2/2~1.414/2=0.707

さて、xを正の数の方から 0 に近づける x->+0 とすると、
 x^x はどの値に近づくのだろうか。
0の0乗に近づくのだから 0 になるのだろうか?

ならないのです。
 x->+0 のとき x^x->1
となります。
数学が得意な人には、簡単な問題なのでしょうが、私には謎だったので、考えてみました。

お勉強しよう x^x 
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◇ 扇形の質量の中心

2017年11月30日 | ◇お勉強
扇形の質量の中心(重心)の位置を求めてみた。

三角形では、次のようなる。
三角形ABC BCの中点 M 質量の中心(重心) G
 AG/AM=2/3

扇形では次のようになった。
扇形OAB 中心角 ∠O 質量の中心 G
 OG/OA=(4/3)*sin(∠O/2)/∠O

例えば、
 ∠O=Pi/3 のとき OG/OA=(4/3)*sin(Pi/6)*(3/Pi)=2/Pi~0.64
 ∠O=Pi/2 のとき OG/OA=(4/3)*sin(Pi/4)*(2/Pi)=4*root2/(3*Pi)~0.60
 ∠O=Pi のとき OG/OA=(4/3)*sin(Pi/2)/Pi=4/(3*Pi)~0.42

また ∠O->0 の極限は sin(∠O/2)/(∠O/2)->1 であるから、
 OG/OA=(2/3)*sin(∠O/2)/(∠O/2)->2/3
三角形の場合と同じになる。 

おもしろいなあ。
詳しくは 勉強しよう 扇形の質量の中心

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◇一様な重力場での2質点の運動

2017年10月28日 | ◇お勉強
一様な重力場での2つの質点の運動を考える。
例えば、
① 軽い棒の両端に重りをつけたバトンを空中に投げたときの運動
② 自由落下する(放物線運動でもよい)エレベーターの中での、2質点の運動

ベクトルを [A] などと表す。z軸方向の座標単位ベクトル [z] とする。

◆ 質量 m1,m2 m1+m2=M
質点に働く外力 [F1]=[z]*m1*g [F2]=[z]*m2*g 外力はこれだけ
内力 [f21] , [f12] 質量の中心系での運動量 [p1G] , [p2G]  質量の中心の位置 [G]

■ 質量の中心系での運動方程式 時間微分を ' で表すと、
 [p1G]'=[F1]*m2/M-[F2]*m1/M+[f21]

質量の中心系は一般に慣性系でないので、いつもの見慣れた運動方程式にはならない。
ところが、一様な重力場での質量の中心系では、

 [p1G]'
=([z]*m1*g)*m2/M-([z]*m2*g)*m1/M+[f21]
=[z]*m1*m2*g/M-[z]*m1*m2*g/M+[f21]
=[f21]

 [p1G]'=[f21]  同様に [p2G]'=[f12]   内力のみによる慣性系であるように扱える。

質量の中心は M*[G]''=<F1>+<F2>=[z]*m1*g+[z]*m2*g=[z]*M*g
 [G]''=[z]*g

質量の中心は、放物線か、自由落下に限られる。その系において、2つの質点は、内力のみを考えた運動をする。

バトンの質量の中心(重心)は、放物線を描くか、自由落下する。バトンは質量の中心の周りを回転する。
自由落下(放物線でもよい)するエレベーター内では、普通に運動方程式が成り立つ。慣性系であるかのように扱える。

以上、あたりまえのことなんだけど、ちゃんと説明してくれている資料は見当たらない。

お勉強しよう 一様な重力場での2質点の運動
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◇長方形の慣性モーメント

2017年10月19日 | ◇お勉強
長方形の慣性テンソルと慣性モーメントを考えてみた。いつのまにか、テンソルがモーメントになってたりして、なんだかよくわからないんだよね。

結論は以下の通り。
テンソルとベクトルを [A] などと表した。

◆ 長方形 面密度一定 横 X 縦 Y 質量 M 観測時刻に、xy平面上 中心:原点
原点に対する慣性テンソル [I]

■ 質量分布の対称性などにより、慣性テンソルの成分のうち6個は 0 になる。

 [I]=(1/12)*M*[Y^2 0 0|0 X^2 0|0 0 X^2+Y^2]

次のようにも表すことができる。

 慣性モーメント [I]=[Ix Iy Iz]=(1/12)*M*[Y^2 X^2 X^2+Y^2]

角速度 [wx wy wz] のとき、原点に対する角運動量 [Lx Ly Lz] は、次のようになる。

 Lx=Ix*wx Ly=Iy*wy Lz=Iz*wz

お勉強しよう 長方形の慣性モーメント
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◇ ボールペンの回転

2017年10月16日 | ◇お勉強
ボールペンを投げ上げる。ボールペン全体としては放物線を描きつつ、ボールペンは回転する。よく見ていると、ボールペンは、ボールペンを含む1つの平面上を回転しているようだ。回転軸は、常に棒に垂直であるようだ。
回転軸が、ボールペンに対して斜めになるようにはできないのだろうか。ボールペンが円錐を描くように回転することはないのだろうか。
いろいろ工夫して投げても、そのような事は起きない。

不思議だなあと、ずーと思っていた。
棒の慣性テンソルと角運動量の関係を考えていたら、謎が解けた。
ボールペンの太さが無視できて、ボールペンの自転による角運動量がないとみなせる時、そういう回転は起きないことがわかった。

ポイントは次のような事実である。
回転軸がボールペンに対して、斜めであるとき、角運動量の回転軸以外の成分が生まれてしまう。角運動量は一定にはならない。
その裏返しで、角運動量一定の場合、回転軸が斜めの回転は起きない。
ただし、質量分布が直線上にある場合を考えている。

ボールペンに太さがある場合には、角運動量一定であっても、回転軸そのものが動くという現象が起きえる。
ボールペンを竹トンボを飛ばすように回転させながら、その回転軸も回転するように投げると、回転軸そのものが動くような現象ができる。

 お勉強しよう 棒の慣性テンソル
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◇3次元空間上での角運動量

2017年10月07日 | ◇お勉強
xy平面でない平面上を等速円運動する質点の角運動量を考える。わかりにくい。{私、何十年もわかってなかった!}

ベクトルを [A] と表す。
円柱座標単位ベクトル 動径方向[r.u] 接線方向[au] z軸方向[z]

◆ 1質点 質量 m z軸を回転軸として等速円運動 xy平面からの距離 h=一定
回転半径 r=一定 角速度ベクトル [w]=[z]*w=一定
■ 原点に対する角運動量 [L]=m*(-[r.u]*r*h+[z]*r^2)*w  動径成分がある{!}
 原点に対する角運動量の時間微分 [L]'=-[au]*m*r*w^2*h
 力 [F]=-[r.u]*m*r*w^2 向心力
 原点に対するトルク [N]=-[au]*m*r*w^2*h  等速円運動ではあるが、トルクが必要{!}  

角運動量やトルクを回転軸に対する量だと思っていると、わからなくなる。
回転軸に対する量なのは、角運動量やトルクの成分だけにすぎない。
角運動量やトルクそのもの(ベクトル)は、点に対する量なのだ{!}ここが、わかってなかった。

さらに [L]=[I]*[w] と表そうとすると、
[I] は、スカラーやベクトルではなく、テンソル(3行3列)が必要になる。

お勉強しよう 3次元空間上の角運動量

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◇ エネルギーと運動量のローレンツ変換

2017年09月16日 | ◇お勉強
1粒子 xy平面上での運動
2つの慣性系 x系,X系 X系のx系に対する速度(対光速比) <x>*b.
粒子の速度(対光速比) X系で <Bx By> |<Bx By>|=B x系で <bx by> |<bx by>|=b
速度の関係は、次のようになる。

 bx=(Bx+b.)/(1+Bx*b.) by=By/[Γ(b.)*(1+Bx*b.)]

相対論的効果率は Γ(b)=Γ(b.)*Γ(B)*(1+Bx*b.) となるので、次のようにも表せる。

 bx=(Bx+b.)/(1+Bx*b.) by=By*Γ(B)/Γ(b)

以上の結果を使うと、エネルギーと運動量のローレンツ変換を求める事ができる。

2つの慣性系 x系,X系 X系のx系に対する速度(対光速比) <x>*b.
1粒子xy平面上での運動 それぞれの系でのエネルギー E,EK
それぞれの系での運動量(光速倍) <pcx pcy>,<pcKx pcKy>

 E=EK*Γ(b.)+pcKx*Γ(b.)*b. pcx=pcKx*Γ(b.)+EK*Γ(b.)*b. pcy=pcKy

運動量は成分の値である事に注意するべきである。

詳しくは お勉強しよう エネルギーと運動量のローレンツ変換
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◇相対論的力学.1次元.力一定

2017年08月26日 | ◇お勉強
直線上の運動、力一定の場合を相対論で扱う。等速直線運動ではないから、特殊相対性理論では扱えないと思っていたが、扱えるし、難しくない。

相対論では、力一定であっても、加速度は一定にならない。徐々に加速度の増え方は小さくなる。

力 F=一定 F/(c*m)=1/t0 のとき、次のようになる。

Γ(b)=root[1+(t/t0)^2] 速さ(対光速比) b=(t/t0)/Γ(b) 距離 x=c*t0*[Γ(b)-1]

F=m*g 地上での力と同じ とき t0=(c*m)/F=(c*m)/(m*g)=c/g=0.969_年

例えば t=5_年 で
 t/t0=5/0.969=5.16 c*t0=0.969_光年 Γ(b)*b=5.16 Γ(b)=5.256
 b=0.982 x=4.12_光年
5年で 4光年先まで行ける。ちなみに、運動をしている者にとっては、
 2.27_年 しかたたない。2年ちょっとで、4光年先まで行けてしまう。相対論的効果によって、動いている者にとっては、距離が短くなるからだ。

お勉強しよう 相対論的力学.1次元.力一定の場合
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◇ 動いている棒は短く「見える」のか

2017年08月22日 | ◇お勉強
棒が、その長さの方向に等速直線運動をする。棒の長さは短く「観測」される。
動いている物の長さを観測する方法は、基本的に2つ考えられる。
方法① 観測する系の同じ位置で、棒の先頭が通る時刻と、最後尾が通る時刻を観測し、計算して、棒の長さを求める。
方法② 観測する系の同時刻に、先頭の位置と最後尾の位置を観測する。
どちらの方法も、時間が関係してくるので、常識的ではない事が起きる。
棒の長さは短く「観測」される。

では実際に棒は短く見えるのか。それはまた、話が違ってくる。見えるためには、起きている事象の光が目に届かないといけない。遠くで起きた事象は、より時間がかかる。

棒が近づいてくる場合
今、棒の先頭が観測者の前を通過しているとする。そのときに棒の最後尾から出た光は、観測者に届かない。今、観測者に届く情報は、過去の棒の最後尾の位置である。原点からより遠い位置の情報が今、観測者に届くのである。したがって、棒は長く見える{!}

棒が遠ざかる場合
今、棒の最後尾が観測者の前を通過するとする。そのときの棒の先頭から出た光は、観測者に届かない。今、観測者に届く情報は、過去の棒の先頭の位置である。原点により近い位置の情報が今、観測者に届く。したがって、棒は短く見える{!}

式で表すと、
近づく場合 L=L0*root[(1+v./c)/(1-v./c)] 長く見える
遠ざかる場合 L=L0*root[(1-v./c)/(1+v./c)] 短く見える

お勉強しよう 棒は短く「見える」のか


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