四面体の垂心・外心・内心の重心座標表現の具体例_第6例

四面体の垂心・外心・内心の重心座標表現の具体例_第6例　2009.02.19(木)

1.一般に四面体ABCDの6辺の長さを　BC＝a　，CA＝b　，AB＝c，BD＝e　，CD＝f　とおく。
また　その体積を　Vとおく。

「垂心四面体ABCD』になる条件は主に次の(ア)(イ)(ウの3通りがあった。
(ア)
　AB⊥CD　かつ　AC⊥BD　かつ　AD⊥BC　・・・(1.1.1)
　この3つの「垂直条件」は2つが成立すれば、残りの1つも成立する。
(イ)
　　AB^2＋CD^2＝AC^2＋BD^2＝AD^2＋BC^2　・・・(1.1.2)
　すなわち　a^2＋d^2＝b^2＋e^2＝c^2＋f^2　・・・(1.1.3)
(ウ)
　((→AB,→AC))＝((→AB,→AD))＝((→AC,→AD))
⇔((→BA,→BC))＝((→BA,→BD))＝((→BC,→BD))
⇔((→CA,→CB))＝((→CA,→CD))＝((→CB,→CD))
⇔((→DA,→DB))＝((→DA,→DC))＝((→DB,→DC))
　のどれか1つの条件が成立すること

の３通りである。(ア)⇔(ウ)は明らかであり　(ア)と(イ)の同値性は「高校の教科書にも載っている」
　ようである。

「垂心四面体」においては、
　x＝((→AB,→AC))＝((→AB,→AD))＝((→AC,→AD))，y＝((→BA,→BC))＝((→BA,→BD))＝((→BC,→BD))，
　z＝((→CA,→CB))＝((→CA,→CD))＝((→CB,→CD)) ,w＝((→DA,→DB))＝((→DA,→DC))＝((→DB,→DC))
　　　・・・(1.1.4)
　とする。そのとき、
　x＋y＝AB^2＝c^2　，x＋z＝AC^2＝b^2　，x＋w＝AD^2＝d^2　,
　y＋z＝BC^2＝a^2　，y＋w＝BD^2＝e^2　，z＋w＝CD^2＝f^2　・・・(1.1.5)
　また、a^2＋d^2＝b^2＋e^2＝c^2＋f^2　だから、

　e^2＝(a^2＋d^2)－b^2＝d^2＋(a^2－b^2)　，f^2＝(a^2＋d^2)－c^2＝d^2＋(a^2－c^2)　・・・(1.1.6)
　さらに　detJ(3)＝(6V)^2＝yzw＋xwz＋xyw＋xyz
　　　　　　　　　＝(x＋w)yz＋(y＋z)xw＝(d^2)yz＋(a^2)xw　・・・(1.1.7)
　などは以前に示した。
2.
さて、今回の「垂心四面体の第6例」は極めて分かりやすく「よくある四面体」といえよう。
底面に△ABCがくるように四面体ABCDをを配置する。この△ABCは1辺の長さがaの「正三角形」とし、
上方にとった頂点Dは正三角形ABCの重心に立てた垂線上にあるとする。
すなわち、この四面体ABCDはBC=CA＝AB＝a，AD＝BD＝CD＝d　　・・・(2.1.1)とする。
つまり，上で述べた、a,b,c,d,e,fを使えば　
「ｂ＝ｃ＝ａ，AD＝d，BD＝e＝ｄ，CD＝ｆ＝ｄ」　となるものである。
これが
「垂心四面体ABCD」であることは、1.の「条件(イ)」を満たすからである。
実際　、△ABCは正三角形でｃ＝ｂ＝a，ｆ＝e＝ｄより
b^2＋e^2＝a^2＋d^2　，c^2＋f^2＝a^2＋d^2　⇒　b^2＋e^2＝c^2＋f^2＝a^2＋d^2　
すなわち(イ)が成り立つからである。
そこで、この「垂心四面体」の諸量は正の数ａとｄで表される筈である。

まず1.に示したxを計算しよう。
x＝((→AB,→AC))＝((→AB,→AD))＝((→AC,→AD))であるが、
x＝((→AB,→AC))＝[|AB|^2＋|AC|^2ー|BC|^2]/2＝(a^2＋a^2－a^2)/2＝(a^2)/2
よって　(1.1.5)から　y＝c^2－ｘ＝a^2ーx＝(a^2)/2　、z＝b^2－x＝a^2－x＝(a^2)/2
w＝d^2ーx＝d^2－(a^2)/2　こうして
　x＝y＝z＝(a^2)/2　・・・　(2.1.1)　，w＝d^2－(a^2)/2　・・・(2.1.2)となった。
そこで　detJ(3)＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz　・・・(2.1.3)の
　yzw＝xzw＝xyw＝(x^2)w　，また　xyz＝x^3　・・・(2.1.4)となるので、
detJ(3)＝yzw＋xwz＋xyw＋xyz＝3x^2w＋x^3＝x^2(3w＋x)　・・・(2.1.5)
　　　　＝(x^2)[3{d^2ー(a^2)/2}＋(a^2/2)]
　　　　＝(x^2)[3d^2ーa^2]＝(a^4/4)[3d^2ーa^2]　・・・(2.1.6)
「垂心四面体」の条件を満たすものが「立体」つまり「四面体」になる条件は
　detJ(3)＞０だけで必要十分である。このことはあとの「復習」の(3.1.4)の
　　detJ(3)＝4(S_D)^2(k^2)ー(abc)^2＞0　からの4(S_D)^2＞(abc)^2/(k^2)＞0　より分かる。
　　そして　detJ(3)＞0　⇔　3d^2ーa^2＞0　⇔　「d^2＞　(a^2)/3」　・・・(2.1.7)
このとき、V＝(1/6)√[detJ(3)]＝(1/6)×(a^2/2)√[3d^2ーa^2]
　　すなわち「体積」V＝(1/12)(a^2)√[3d^2ーa^2]　・・(2.1.8)
こうして
[命題2.2]
この「四面体ABCD」ができるためのａ，ｄの必要十分条件は　「d^2＞　(a^2)/3」　・・・(2.2.1)
◎次の[命題2.3]は以下の4.の「計算(2)(3)」から分かる。

[命題2.3]
(エ)　w＜0　⇔　(a^2)/3＜d^2<(a^2)/2　のとき、△DAB,△DAC，△DBCは鈍角三角形で、「垂心H」は
　「四面体の外部」で「頂点Dよりも上方」にあり、「外心O」は「四面体の外部」で△ABCの下方にくる。
(オ)　w＝0　⇔ d^2=(a^2)/2　のとき、△DAB,△DAC，△DBCは直角2等辺三角形で
「D－3直角四面体」　であり、「垂心H」＝「頂点D」で、「外心O」は四面体の外部」で
　△ABCの下方にきて、
　(→PO)＝(1/2)[(→PA)＋(→PB)＋(→PC)－(→PD)]となる。
(カ)　w＞０ ⇔ d^2>(a^2)/2　のとき、△DAB,△DAC，△DBCは鋭角2等辺三角形で「垂心H」は
「四面体の内部」にあり、　
　　(a^2)/2＜d^2＜(2/3)(a^2)ならば、「外心O」は四面体の外部」で△ABCの下方にくる。
　　(d^2)＝(2/3)(a^2)ならば「外心O」は△ABC上にあり、△ABCの「重心」のところである。
　　(d^2)＞(2/3)(a^2)ならば「垂心H」も[外心O」とも「四面体の内部」にくる。
(キ) 特にd=a　ならば、この「垂心四面体」は「1辺の長さaの正四面体」である。

3.
＜復習をしておく＞：一般の「垂心四面体ABCD」について、x,y,z,wを上の(1.1.4)のようにおく。
　　そして　正の数kを　1.の「条件(イ)」の　a^2＋d^2＝b^2＋d^2＝c^2＋d^2＝k^2　・・・(3.1.1)を
　　満たすものとし、また、△BCD、△ACD，△ABD，△ABCの面積をS_A，S_B，S_C，S_D　とする。
(1)　「垂心四面体ABCD]の体積Vは　　　detJ(3)＝(3!V)^2＝(6V)^2　・・・(3.1.2)を満たし、
　　detJ(3)＝4(S_D)^2(d^2)ーa^2(x^2)＝d^2{(bc)^2－x^2}－(a^2)(x^2)
　　　＝(bcd)^2ー(a^2＋d^2)(x^2)＝(bcd)^2－(k^2)(x^2)　　・・・(3.1.3)
　　detJ(3)＝4(S_D)^2(k^2－a^2)ー(a^2)(x^2)＝4(S_D)^2(k^2)ー(a^2){4(S_D)^2ーx^2}
　　　＝4(S_D)^2(k^2)ー(a^2)(bc)^2＝4(S_D)^2(k^2)ー(abc)^2　・・・(3.1.4)
　　　（∵　4(S_D)^2＝(bc)^2ー(x^2)だから）
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　よって
　4detJ(3)＝4(6V)^2
　　　　　 ＝d^2(a＋b＋c)(b＋c－a)(c＋a－b)(a＋b－c)－(a^2)(b^2＋c^2－a^2)^2　・・・(3.1.5)

(2)「垂心四面体ABCD」の「垂心H]の「ベクトルによる重心座標表現」は任意の点P∈E^3にたいして

　　(→PH)＝1/[detJ(3)][yzw(→PA)＋xzw(→PB)＋xyw(→PC)＋xyz(→PD)]　・・・(3.1.6)

　　そして　detJ(3)＝yzw＋xzw＋xyw＋xyz　・・・(3.1.7)　が成り立つ。

(3)「垂心四面体ABCD]の「外心Ｏ]の「ベクトルによる重心座標表現」は
　　　任意の点P∈E^3にたいして
　　(→PO)＝1/[2detJ(3)](－yzw＋xzw＋xyw＋xyz)(→PA)
　　　　　＋1/[2detJ(3)](yzw－xzw＋xyw＋xyz)(→PB)
　　　　　＋1/[2detJ(3)][(yzw＋xzwーxyw＋xyz)(→PC)
　　　　　＋1/[2detJ(3)](yzw＋xzw＋xyw－xyz)(→PD)　・・・(3.1.8)
　　　　　＝1/[2detJ(3)][(detJ(3)－2yzw)(→PA)＋(detJ(3)－2xzw)(→PB)]
　　　　　＋1/[2detJ(3)][(detJ(3)－2xyw)(→PC)＋(detJ(3)－2xyz)(→PD)]・・・(3.1.9)　
　　　　（5・6行目の式は　(3.1.7)を用いるとでてくる）
(4)「2次元外接球面」の半径をR(3)とすると、
　
　　[R(3)]^2＝(k^2)/4ー(xyzw)/（detJ(3))　・・・(3.1.10)
(5)　
　　4(S_A)^2＝zw＋yw＋yz　，4(S_B)^2＝zw＋xw＋xz，4(S_C)^2＝yw＋xw＋xy，　
　　4(S_D)^2＝yz＋xz＋xy　　　　　　　　　　　・・・(3.1.11)

(6)　各面△BCD，△ACD，△ABD，△ABCの「三角形」としての「垂心」をそれぞれ
　　H_A，H_B，H_C，H_Dとすれば、「ベクトルによる重心座標表現」は
　任意の点P∈E^n　(n≧2)にたいして
　　(→PH_A)＝1/[4(S_A)^2]×[zw(→PB)＋yw(→PC)＋yz(→PD)]　，
　　(→PH_B)＝1/[4(S_B)^2]×[zw(→PA)＋xw(→PC)＋xz(→PD)]
　　(→PH_C)＝1/[4(S_C)^2]×[yw(→PA)＋xw(→PB)＋xy(→PD)]，
　　(→PH_D)＝1/[4(S_D)^2]×[yz(→PA)＋xz(→PB)＋xy(→PC)]
　　　　　・・・(3.1.12)
(7)　各面△BCD，△ACD，△ABD，△ABCの「三角形」としての「外心」をそれぞれ
　　O_A，O_B，O_C，O_Dとすれば、「ベクトルによる重心座標表現」は
　任意の点P∈E^n　(n≧2)にたいして
　　(→PO_A)＝1/[8(S_A)^2]×[y(z＋w)(→PB)＋z(y＋w)(→PC)＋w(y＋z)(→PD)]，
　　(→PO_B)＝1/[8(S_B)^2]×[x(z＋w)(→PA)＋z(x＋w)(→PC)＋w(x＋z)(→PD)]，
　　(→PO_C)＝1/[8(S_C)^2]×[x(y＋w)(→PA)＋y(x＋w)(→PB)＋w(x＋y)(→PD)]，
　　(→PO_D)＝1/[8(S_D)^2]×[x(y＋z)(→PA)＋y(x＋z)(→PB)＋z(x＋y)(→PC)]　・・・(3.1.13)
(8)「2次元の内接球面」の半径r　及び「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現」は
　任意の点P∈E^n　(n≧3)にたいして
　　(→PI)＝1/[(S_A)＋(S_B)＋(S_C)＋(S_D)]
　　　　　×[S_A(→PA)＋(S_B)(→PC)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)] ・・・(3.1.14)
　　その半径rは
　　r＝√[detJ(3)]/[2{(S_A)＋(S_B)＋(S_C)＋(S_D)}]　　　　　　　　・・・(3.1.15)

(9)　「七平方定理」

　　(2S_A)^2＋(2S_B)^2＋(2S_C)^2＋(2S_D)^2＝(ad)^2＋(be)^2＋(cf)^2　　・・・(3.1.16)

(1)～(8)は求めて、(9)は確認してみよう。

4.
上記3.のことをこの「垂心四面体_第6例」について計算しよう。
(2)
　　(2.1.4)　の　yzw＝xzw＝xyw＝(x^2)w　，また　xyz＝x^3　と、
　　(2.1.6)の　detJ(3)＝(x^2)(3w＋x)＝(x^2)[3d^2ーa^2]　から

「垂心H]の「ベクトルによる重心座標表現」は任意の点P∈E^3にたいして

　　(→PH)＝1/[(x^2)(3d^2ーa^2)]×[(x^2)w{(→PA)＋(→PB)＋(→PC)}＋(x^3)(→PD)]　)
　　　　　＝1/(3d^2ーa^2)[w{(→PA)＋(→PB)＋(→PC)}＋x(→PD)]　
　　　　　＝1/[2(3d^2ーa^2)]×[(2d^2ーa^2){→PA)＋(→PB)＋(→PC)}＋(a^2)(→PD)]　・・・(4.1.1)
(3)「外心Ｏ]の「ベクトルによる重心座標表現」は(2.1.6)より
　　(detJ(3)－2yzw＝x^2(3w＋x)－2(x^2)w=x^2(w＋x),(detJ(3)－2xzw＝x^2(w＋x)，
　　(detJ(3)－2xyw＝x^2(w＋x)，(detJ(3)－2xyz＝x^2(3w＋x)－2x^3＝x^2(3w－x)だから
　(3.1.9)は
(→PO)＝1/[2detJ(3)][(detJ(3)－2yzw)(→PA)＋(detJ(3)－2xzw)(→PB)]
　　　＋1/[2detJ(3)][(detJ(3)－2xyw)(→PC)＋(detJ(3)－2xyz)(→PD)]
　　　＝1/[2(x^2)(3d^2ーa^2)]×[x^2(w＋x){(→PA)＋(→PB)＋(→PC)}＋x^2(3w－x)(→PD)]
　　　＝1/[2(3d^2ーa^2)]×[(w＋x){(→PA)＋(→PB)＋(→PC)}＋(3d^2－4x)(→PD)]
　　　＝1/[2(3d^2ーa^2)]×[d^2{(→PA)＋(→PB)＋(→PC)}＋(3d^2－2a^2)(→PD)]　・・・(4.1.2)

☆　(2)(3)から直ちに(→PH)＋(→PO)＝(1/2)[(→PA)＋(→PB)＋(→PC)＋(→PD)]　
　すなわち　　(1/2)[(→PH)＋(→PO)]＝(1/4)[(→PA)＋(→PB)＋(→PC)＋(→PD)]　・・・(4.1.3)
　　「四面体のオイラー線の関係」が成り立っている。
(5)　
　x＝(a^2)/2＞0，d^2＞(a^2)/3　だから
　4(S_A)^2＝zw＋yw＋yz＝xw＋xw＋x^2＝x(x＋2w)
　　　　　　＝x{x＋2(d^2ーx)＝x(2d^2－x)＝x(4d^2－a^2）/2＝(a^2)(4d^2－a^2)/4
　4(S_B)^2＝zw＋xw＋xz＝xw＋xw＋x^2＝x(x＋2w)，
　4(S_C)^2＝yw＋xw＋xy＝xw＋xw＋x^2＝x(x＋2w)　ゆえに
　4(S_A)^2＝4(S_B)^2＝4(S_C)^2＝x(4d^2－a^2)/2＝(a^2)(4d^2－a^2)/4　　・・・(4.1.4)
　d^2＞(a^2)/3　から　4(S_A)^2＝4(S_B)^2＝4(S_C)^2＝x(4d^2－a^2)/2>0　となり問題はない。
　S_A＝S_B＝S_C＝a√(4d^2－a^2)/4　・・・(4.1.2)
　４(S_D)^2＝3x^2＝3(a^2/2)^2＝(3a^4)/4　>　0，　S_D＝√3a^2/4　・・・(4.1.5)
(9)　七平方定理の確認をしよう。
　　4[(S_A)^2＋(S_B)^2＋(S_C)^2＋(S_D)^2]＝3x(x＋2w)＋3x^2
　　＝6x(x＋w)＝3a^2×d^2＝3(ad)^2　　　　　　　　　　　　　　　・・・(4.1.6)　　
（∵　(S_D)^2＝3x^2，4(S_A)^2＝4(S_B)^2＝4(S_C)^2＝x(x＋2w)と(1.1.5)のx＋w＝d^2）
一方　(ad)^2＋(be)^2＋(cf)^2＝(ad)^2＋(ad)^2＋(ad)^2＝3(ad)^2　・・・(4.1.7)
ゆえに　
(2S_A)^2＋(2S_B)^2＋(2S_C)^2＋(2S_D)^2]＝(ad)^2＋(be)^2＋(cf)^2　で成立。

(8)　2F＝S_A＋S_B＋S_C＋S_D＝3a√[(4d^2－a^2)]/4＋√3(a^2)/4＝(√3a/4)[√{3(4d^2ーa^2}＋a]
　　　　・・・　(4.1.8)となるから
　「内心I」の「ベクトルによる重心座標表現は。
　(→PI)＝(→PI)＝1/[(S_A)＋(S_B)＋(S_C)＋(S_D)]
　　　　　×[S_A(→PA)＋(S_B)(→PC)＋(S_C)(→PC)＋(S_D)(→PD)]
　　　　＝(1/a√[√{3(4d^2－a^2)}＋a]×[a√(4d^2－a^2){(→PA)＋(→PB)＋(→PC)}＋√3a^2(→PD)]
　　　　＝1/√3[√{3(4d^2－a^2)}＋a]×[√(4d^2－a^2){(→PA)＋(→PB)＋(→PC)}＋√3a(→PD)]
　　　　　　・・・(4.1.9)
内接球面の半径rは　(2.1.6)から
　r＝√[detJ(3)]/2[(S_A)＋(S_B)＋(S_C)＋(S_D)]
　　＝(a^2)/2√[3d^2ーa^2]/[√3a/2{√{3(4d^2ーa^2)}＋a]
　　＝(a/√3)×√[3d^2－a^2]/[√{3(4d^2－a^2)}＋a]　　　　　　　　・・・(4.1.10)
　r^2＝(1/3)(a^2)(3d^2－a^2)/[√{3(4d^2－a^2}＋a]^2　　　・・・(4.1.11)

(6)　x＝(a^2)/2＞0だから
(→PH_A)＝1/[4(S_A)^2]×[zw(→PB)＋yw(→PC)＋yz(→PD)]
　　　　＝1/[x(x＋2w)]×[xw(→PB)＋xw(→PC)＋x^2(→PD)]
　　　　＝1/(x＋2w)×[w(→PB)＋w(→PC)＋x(→PD)]
　　　　＝2/(4d^2－a^2)[{d^2－(a^2)/2}(→PB)＋{d^2－(a^2)/2}(→PC)＋(a^2)/2(→PD)]
　　　　＝1/(4d^2－a^2)[(2d^2－a^2){(→PB)＋(→PC)}＋(a^2)(→PD)]
すなわち　　
　(→PH_A)＝1/(4d^2－a^2)[(2d^2－a^2){(→PB)＋(→PC)}＋(a^2)(→PD)]　
　　　　　　・・・(4.1.12)
同様にして　
　(→PH_B)＝1/(4d^2－a^2)[(2d^2－a^2){(→PA)＋(→PC)}＋(a^2)(→PD)]
　　　　　　・・・(4.1.13)
　(→PH_C)＝1/(4d^2－a^2)[(2d^2－a^2){(→PA)＋(→PB)}＋(a^2)(→PD)]
　　　　　　・・・(4.1.14)
　△ABCは1辺aの「正三角形」だからH_Dは△ABCの「重心」よって
　(→PH_D)＝1/3[(→PA)＋(→PB)＋(→PC)」のはずである。
　(→PH_D)＝1/[4(S_D)^2]×[yz(→PA)＋xz(→PB)＋xy(→PC)]
　　　　　＝4/(3a^4)[x^2{(→PA)＋(→PB)＋(→PC)}]
　　　　　＝4/(3a^4)[(a^4)/4{(→PA)＋(→PB)＋(→PC)}]
　　　　　＝1/3[(→PA)＋(→PB)＋(→PC)]でO.K.
(7)
(→PO_A)＝1/[2x(x＋2w)]×[x(x＋w)(→PB)＋x(x＋w)(→PC)＋2xw(→PD)]
　　　　　　＝1/2(x＋2w)[((x＋w)(→PB)＋(x＋w)(→PC)＋2w(→PD)]
　　　　　　＝1/(4d^2－a^2）[d^2(→PB)＋d^2(→PC)＋2{d^2－(a^２)/2}(→PD)]
　　　　　　＝1/(4d^2－a^2）[d^2{(→PB)＋(→PC)}＋(2d^2－a^2)(→PD)]・・・(4.1.15)
　同様に　
　(→PO_B)＝1/(4d^2－a^2）[d^2{(→PA)＋(→PC)}＋(2d^2－a^2)(→PD)] ・・・(4.1.16)
　(→PO_C)＝1/(4d^2－a^2）[d^2{(→PA)＋(→PB)}＋(2d^2－a^2)(→PD)] ・・・(4.1.17)
　O_Dは正三角形ABCの「重心」になるので、(→PO_D)＝1/3[(→PA)＋(→PB)＋(→PC)]のはず。
　(→PO_D)＝2/[3a^4]×[(2x^2)(→PA)＋(2x^2)(→PB)＋(2x^2)(→PC)]
　　　　　＝[2/(3a^4)]×(a^4)/2[(→PA)＋(→PB)＋(→PC)]
　　　　　＝1/3[(→PA)＋(→PB)＋(→PC)]　でO.K．
(4)「2次元外接球面」の半径をR(3)は(2.1.6)の　detJ(3)＝(x^2)[3d^2ーa^2]　より

　　[R(3)]^2＝(k^2)/4ー(xyzw)/（detJ(3))
　　　　　　　＝(a^2+d^2)/4－[(x^3)w]/[(x^2)(3d^2ーa^2)]
　　　　　　　＝(a^2+d^2)/4－xw/(3d^2ーa^2)
　　　　　　　＝[(a^2+d^2)(3d^2ーa^2)ーa^2(2d^2ーa^2)]/[4(3d^2ーa^2)]
　　　　　　　＝［3d^4+2(ad)^2－a^4－2(ad)^2+a^4]/[4(3d^2ーa^2)]
　　　　　　　＝(3d^4)/[4(3d^2ーa^2)]
　　[R(3)]^2＝(3d^4)/[4(3d^2ーa^2)]　　　　・・・(4.1.18)
　ゆえに　R(3)＝(√3d^2)/[2√(3d^2ーa^2)]　・・・(4.1.19)