四面体の傍接球面と各面との接点の重心座標_2017_02_15(水)
前回の[命題1.3]は、ブログ発表後少し計算して2月1日(水)に
、
☆ (→TT^D)=ν(→DH_D) ・・・(#) を証明すればよいことに気が付き
[証明]が完成した。但し「本」のP220の[命題12.28]とP232の[命題12.37]
を使う。大事なことは、[命題12.28]が基本的で[命題12.37]はそれから
すぐでてきて[二面角]の余弦の6辺による表示を使用してないことである。
まず「本」の[命題12.27]を述べておこう。
「本」の[命題12.27]
一般の四面体ABCDの頂点Dから対面の△ABCに下した垂線の足をH_Dとし、
点H_Dの△ABCに関する重心座標を(κ_D,λ_D,μ_D)(順番注意) かつ
κ_D+λ_D+μ_D=1 とする。このとき、cosθ(D,A)=[S_D/S_A]κ_D
・・・(1)
[証明]は「本」をみてください。この(1)は「種を明かせば」簡単なことである。
「種」については「本」を見てください。
ついでに
「「本」の[命題12.28]」の一部も述べておこう。
cosθ(D,A)=[S_D/S_A]κ_D・・・(10) cosθ(D,B)=[S_D/S_B]λ_D・・・(11)
cosθ(D,C)=[S_D/S_C]μ_D・・・(12)
である。
☆ これより(10)(11)(12)から、[第一余弦定理]の別証明が得られる。
なぜなら、
(10)⇔(S_D)κ_D=(S_A)cosθ(D,A)・・・(13)⇔κ_D=[1/S_D](S_A)cosθ(D,A)・・・(16)
(11)⇔(S_D)λ_D=(S_B)cosθ(D,B)・・・(14)⇔λ_D=[1/S_D](S_B)cosθ(D,B)・・・(17)
(12)⇔(S_D)μ_D=(S_C)cosθ(D,C)・・・(15)⇔μ_D=[1/S_D](S_C)cosθ(D,C)・・・(18)
である。
(13)(14)(15)の3式を両辺加えて、κ_D+λ_D+μ_D=1を使えば、
S_D=S_D(κ_D+λ_D+μ_D)
=(S_A)cosθ(D,A)+(S_B)cosθ(D,B)+(S_C)cosθ(D,C)
即ち
S_D=(S_A)cosθ(D,A)+(S_B)cosθ(D,B)+(S_C)cosθ(D,C)
となるからである。
少し話がわき道にそれた。さて「本」の「P232の[命題12.37]」を述べる前に、
[命題1.0]を述べておく。
[命題1.0]
一般の四面体ABCDの頂点Dから対面の△ABCに下した垂線の足をH_Dとし、
点H_Dの△ABCに関する重心座標を(κ_D,λ_D,μ_D)(順番注意) かつ
κ_D+λ_D+μ_D=1 とする。このとき、
κ_D=[1/S_D](S_A)cosθ(D,A)・・・(1.0.1)
λ_D=[1/S_D](S_B)cosθ(D,B)・・・(1.0.2)
μ_D=[1/S_D](S_C)cosθ(D,C)・・・(1.0.3) である。
「証明」
上述の、☆の「なぜなら、」以下の文章の(16),(17),(18) による。
(「証明」終わり)
それでは、「本」の「P232の[命題12.37]」 を述べよう。それを今回のブログでは
[命題1.1] としておく。
[命題1.1]
一般の四面体ABCDにおいて頂点Dから△ABCに下した垂線の足をH_D
とする。点H_Dの△ABCに関する重心座標を(κ_D,λ_D,μ_D)
かつκ_D+λ_D+μ_D=1 とする。つまり
(→PH_D)=κ_D(→PA)+λ_D(→PB)+μ_D(→PC) for ∀P∈E^m とすれば、
(→PH_D)
=[1/S_D][(S_A)cosθ(D,A)(→PA)+(S_B)cosθ(D,B)(→PB)+(S_C)cosθ(D,C)(→PC)]
for ∀P∈E^m ・・・(1.1.1) となる。
「証明」
[命題1.0]の(1.0.1),(1.0.2),(1.0.3)による。
(「証明」終わり)
さて、前回のブログの[命題1.3]に関連して冒頭のことを次の[定理1.2]として述べる。
[定理1.2]
四面体ABCD⊂E^3⊂E^mとしておく。T∈E^3とし、その真の重心座標が
T(κ,λ,μ,ν) 但し κ+λ+μ+ν=1・・・(1.2.1)であるとする。
このとき、点T∈E^3から△ABCを含む平面に下した垂線の足をT^D とすると、
(→TT^D)=ν(→DH_D)・・・(1.2.2)が成り立つ。
「証明]
四線座標を使う。H_Dは頂点Dから対面の△ABCに下した垂線の足だから、
線分 TT^D//DH_D である。Dの重心座標は(0,0,0,1) そこでT,Dの四線座標を
それぞれ(α_T,β_T,γ_T,δ_T),(α_D,β_D,γ_D,δ_D)とすれば、
[重心座標と四線座標]との関係式から、δ_T=3V/(S_D)×ν ・・・(1.2.3),
δ_D=3V/(S_D)×1=3V/(S_D)・・・(1.2.4) そして四線座標の意味から、
δ_T=有効線分TT^D・・・(1.2.5),δ_D=有効線分DH_D・・・(1.2.6)である。
(1.2.3)と(1.2.4)から、δ_T=νδ_D・・・(1.2.7)となる。これは符号を含めて
正しい。よって(1.2.5)と(1.2.6)により、(1.2.7)は
[有効線分TT^D]=ν×[有効線分DH_D] となる。このことと TT^D//DH_D
をベクトルで表現すれば、
(→TT^D)=ν(→DH_D)・・・(1.2.2)が成り立つ。
(「証明」終わり）
[定理1.2]より[定理1.2]と同値な次の[定理1.3]がでてくる。
[定理1.3]
条件は[定理1.2]と同じとする。
このとき、
(→PT^D)=[κ+ν(S_A/S_D)cosθ(A,D)](→PA)+[λ+ν(S_B/S_D)cosθ(B,D)](→PB)
+[μ+ν(S_C/S_D)cosθ(C,D)](→PC) for ∀P∈E^m・・・(1.3.1)
となり、T^Dの△ABCに関する真の重心座標は、
(κ+ν(S_A/S_D)cosθ(A,D),λ+ν(S_B/S_D)cosθ(B,D)
,μ+ν(S_C/S_D)cosθ(C,D)) ・・・(1.3.2) となる。
「証明」
(1.2.2)の(→TT^D)=ν(→DH_D)
⇔ (→PT^D)-(→PT)=ν[(→PH_D)-(→PD)]
⇔(→PT^D)=(→PT)+ν(→PH_D)-ν(→PD)・・・(1.3.3) ここで
[命題1.1]の(1.1.1)より
(→PH_D)=
[1/S_D][(S_A)cosθ(D,A)(→PA)+(S_B)cosθ(D,B)(→PB)+(S_C)cosθ(D,C)(→PC)]
・・・(1.3.4)
またTの真の重心座標がT(κ,λ,μ,ν)だから、
(→PT)=κ(→PA)+λ(→PB)+μ(→PC)+ν(→PD)・・・(1.3.5)
(1.3.4)と(1.3.5)を(1.3.3)に代入して(1.3.3)は、
(→PT^D)=κ(→PA)+λ(→PB)+μ(→PC)+ν(→PD)
+ν×[(S_A/S_D)cosθ(A,D)(→PA)+(S_B/S_D)cosθ(B,D)(→PB)]
+ν×[(S_C/S_D)cosθ(C,D)](→PC)-ν(→PD)
=[κ+ν(S_A/S_D)cosθ(A,D)](→PA)+[λ+ν(S_B/S_D)cosθ(B,D)](→PB)
+[μ+ν(S_C/S_D)cosθ(C,D)](→PC)
となり、(1.3.1)がでてきた。
前回のブログで、(1.3.1)の(→PA),(→PB),(→PC)の係数の和＝1が
確認してあるから、(1.3.2)も成り立つ。
逆であるところの[定理1.3]から[定理1.2]は、[第一余弦定理]からの、
ν(→PD)=[ν/S_D][(S_A)cosθ(A,D)+(S_B)cosθ(B,D)+(S_C)cosθ(C,D)](→PD)
を使うとでてくる。詳しいことは省略する。
(「証明」終わり）
☆
これで前回のブログの[命題1.2],[命題1.3]が成り立つことが簡単に証明できた。
さて、本題の[傍接球面]の話に移る。
以前のブログで紹介したように、四面体ABCDの「傍心E_D」の真の重心座標は次の
ようであった。
[事実1.4]
四面体ABCDの「傍心E_D」の真の重心座標は
(S_A/[2(F-S_D)],S_B/[2(F-S_D)],S_C/[2(F-S_D)],－S_D/[2(F-S_D)])
以下、傍心E_Dを中心とした傍接球面を[傍接球面E_D]などと記述すること
にし、これと△BCD,△ACD,△ABD,△ABC(を含む平面)との接点をそれぞれ、
(E_D)^A,(E_D)^B,(E_D)^C,(E_D)^D で表すことにする。このとき、
[定理1.5]
傍接球面E_Dと△BCD,△ACD,△ABD,△ABC(を含む平面)との接点をそれぞれ、
(E_D)^A,(E_D)^B,(E_D)^C,(E_D)^D で表すとき、その四面体ABCDに関する
真の重心座標は次のようになる。
(E_D)^A:
( 0,S_B(1+cosθ(B,A))/[2(F-S_D)],S_C(1+cosθ(C,A))/[2(F-S_D)]
,－S_D(1-cosθ(D,A))/[2(F-S_D)] )・・・(1.5.1)
(E_D)^B:
( S_A(1+cosθ(A,B))/[2(F-S_D)],0,S_C(1+cosθ(C,B))/[2(F-S_D)]
,－S_D(1-cosθ(D,B))/[2(F-S_D)] )・・・(1.5.2)
(E_D)^C:
( S_A(1+cosθ(A,C))/[2(F-S_D)],S_B(1+cosθ(B,C))/[2(F-S_D)],0
,－S_D(1-cosθ(D,C))/[2(F-S_D)] )・・・(1.5.3)
(E_D)^D:
( S_A(1-cosθ(A,D))/[2(F-S_D)],S_B(1-cosθ(B,D))/[2(F-S_D)]
,S_C(1-cosθ(C,D))/[2(F-S_D)],0 )・・・(1.5.4)
(E_D)^Dだけ、他のものと様子が違うことに注意。
☆「証明」の前に、(E_D)^Aの各成分の和＝1をまず示そう。
0+S_B(1+cosθ(B,A))/[2(F-S_D)]+S_C(1+cosθ(C,A))/[2(F-S_D)]
－S_D(1-cosθ(D,A))/[2(F-S_D)]
=[S_B(1+cosθ(B,A))+S_C(1+cosθ(C,A))－S_D(1-cosθ(D,A))]/[2(F-S_D)]
=[S_B+S_C－S_D+{(S_B)cosθ(B,A)+(S_C)cosθ(C,A)+(S_D)cosθ(D,A)}]
/[2(F-S_D)]
=[S_B+S_C－S_D+S_A]/[2(F-S_D)]
=[S_A+S_B+S_C－S_D]/[S_A+S_B+S_C－S_D]
=1
となり、まず(E_D)^Aの各成分の和＝1が示された。ここで[第一余弦定理]
の S_A=(S_B)cosθ(B,A)+(S_C)cosθ(C,A)+(S_D)cosθ(D,A)を用いた。
(E_D)^B,(E_D)^Cの各成分の和=1も同様である。
次に、
(E_D)^Dの各成分の和=1を示す。なぜなら
S_A(1-cosθ(A,D))/[2(F-S_D)]+S_B(1-cosθ(B,D))/[2(F-S_D)]
+S_C(1-cosθ(C,D))/[2(F-S_D)]+0
=[(S_A+S_B+S_C)-{(S_A)cosθ(A,D)+(S_B)cosθ(B,D)+(S_C)cosθ(C,D)}]
/[2(F-S_D)]
=[S_A+S_B+S_C-S_D]/[2(F-S_D)]
=1
となるからである。
さて、
「[定理1.5]の証明」
(E_D)^A,(E_D)^Dとについて示す。
E_Dから△BCDに下した垂線の足が(E_D)^Aである。[定理1.3]と類似のものを使う。
△BCDであるから、(1.3.2)は
(E_D)^A:
(0,λ＋κ[S_B/S_A]cosθ(B,A),μ＋κ[S_C/S_A]cosθ(C,A)
,ν＋κ[S_D/S_A]cosθ(D,A))の形に変わる。(前回のブログの[命題1.5.A]参照)
これにおいて、[事実1.4]より
κ=S_A/[2(F-S_D)],λ=S_B/[2(F-S_D)],μ=S_C/[2(F-S_D)],ν=－S_D/[2(F-S_D)]
であるから、
λ＋κ(S_B/S_A)cosθ(B,A)
=S_B/[2(F-S_D)]+S_A/[2(F-S_D)]([S_B/S_A)cosθ(B,A)
=S_B(1+cosθ(B,A))/[2(F-S_D)] となる。
以下、同様にして、
μ＋κ(S_C/S_A)cosθ(C,A)
=S_C/[2(F-S_D)]+S_A/[2(F-S_D)]×(S_C/S_A)cosθ(C,A)
=S_C(1+cosθ(C,A))/[2(F-S_D)],
ν＋κ(S_D/S_A)cosθ(D,A)
=－S_D/[2(F-S_D)]＋S_A/[2(F-S_D)]×(S_D/S_A)cosθ(D,A)
=－S_D(1-cosθ(D,A))/[2(F-S_D)]
となり、(1.5.1)が示された。
次に(1.5.4)を示す。
E_Dから△ABCに下した垂線の足が(E_D)^Dである。(1.3.2)より
(E_D)^D:
(κ+ν(S_A/S_D)cosθ(A,D),λ+ν(S_B/S_D)cosθ(B,D)
,μ+ν(S_C/S_D)cosθ(C,D),0) になる。
これにκ=S_A/[2(F-S_D)],λ=S_B/[2(F-S_D)],μ=S_C/[2(F-S_D)],ν=－S_D/[2(F-S_D)]
を代入する。
κ+ν(S_A/S_D)cosθ(A,D)
=S_A/[2(F-S_D)]－S_D/[2(F-S_D)]×(S_A/S_D)cosθ(A,D)
=S_A(1-cosθ(A,D))/[2(F-S_D)]
また、
λ+ν(S_B/S_D)cosθ(B,D)
=S_B(1-cosθ(B,D))/[2(F-S_D)],μ+ν(S_C/S_D)cosθ(C,D)
=S_C(1-cosθ(C,D))/[2(F-S_D)]も同様である。
ゆえに (1.5.4)が示された。
([定理1.5]の「証明」終わり）
[定理1.5]より、等面四面体ABCDでは次のようになる。S_A=S_B=S_C=S_D=S
とおけば、2F=S+S+S+S=4Sとなるから、
[命題1.6]
等面四面体ABCDにおいて、
傍接球面E_Dと△BCD,△ACD,△ABD,△ABC(を含む平面)との接点をそれぞれ、
(E_D)^A,(E_D)^B,(E_D)^C,(E_D)^D で表すとき、その四面体ABCDに関する
真の重心座標は次のようになる。
(E_D)^A:
( 0,(1+cosθ(B,A))/2,(1+cosθ(C,A))/2,－(1-cosθ(D,A))/2 )・・・(1.6.1)
(E_D)^B:
( (1+cosθ(A,B))/2,0,(1+cosθ(C,B))/2,－(1-cosθ(D,B))/2 )・・・(1.6.2)
(E_D)^C:
( (1+cosθ(A,C))/2,(1+cosθ(B,C))/2,0,－(1-cosθ(D,C))/2 )・・・(1.6.3)
(E_D)^D:
( (1-cosθ(A,D))/2, (1-cosθ(B,D))/2, (1-cosθ(C,D))/2,0 )・・・(1.6.4)
☆等面四面体ABCDについては、
cosθ(A,B)=cosθ(C,D),cosθ(A,C)=cosθ(B,D),cosθ(A,D)=cosθ(B,C),かつ
cosθ(A,B)+cosθ(A,C)+cosθ(A,D)=1などが成り立つので、[内接球面I]と
各面との接点I^A,I^B,I^C,I^Dは各合同な面の[外心]になる。また[傍接球面E_D]
に対し(E_D)^Dは面△ABCの[垂心]になることが分かる。(E_D)^A,(E_D)^B,(E_D)^C
については特別な点ではなく、例えば(E_D)^Bについては、
頂点Dと(E_D)^Bとを結んだ線分 D(E_D)^Bの中点が、[外心]I^Bになる事くらいしかない。これは
頂点Dの真の重心座標が(0,0,0,1),I^Bは、
(1/4[1+cosθ(A,B)],0,1/4[1+cosθ(C,B)],1/4[1+cosθ(D,B)] )と、
(1.6.2)から分かると思う。(中点の公式！）
(E_D)^A,(E_D)^B,(E_D)^Cが各面の[垂心]ということではなく、次のように考える
べきである。
4つの[傍接球面E_A],[傍接球面E_B],[傍接球面E_C],[傍接球面E_D]に対し、
4つの点 (E_A)^A,(E_B)^B,(E_C)^C,(E_D)^Dが各面の[垂心]になるのであると。
これら[等面四面体」特有の事実については次回か次次回のブログで記述する
つもりである。
さて最後に、正四面体についてはどうなるのかを述べよう。
[命題1.7]
正四面体ABCDに対し、
傍接球面E_Dと△BCD,△ACD,△ABD,△ABC(を含む平面)との接点をそれぞれ、
(E_D)^A,(E_D)^B,(E_D)^C,(E_D)^D で表すとき、その四面体ABCDに関する
真の重心座標は次のようになる。
(E_D)^A:
( 0,2/3,2/3,－1/3 )・・・(1.7.1)
(E_D)^B:
( 2/3,0,2/3,－1/3 )・・・(1.7.2)
(E_D)^C:
( 2/3,2/3,0,－1/3 )・・・(1.7.3)
(E_D)^D:
( 1/3, 1/3, 1/3,0 )・・・(1.7.4) 即ち[△ABCの垂心]=[△ABCの重心]
「証明」
正四面体ABCDならば、[等面四面体ABCD]であるから[[命題1.6]が成り立つ。
また、正四面体ABCDについては[二面角]の余弦は容易に求まり、全て1/3に等しい。
即ち、
cosθ(B,A)=cosθ(C,A)=cosθ(D,A)=1/3 ・・・(1.7.5)
cosθ(A,B)=cosθ(C,B)=cosθ(D,B)=1/3 ・・・(1.7.6)
cosθ(A,C)=cosθ(B,C)=cosθ(D,C)=1/3 ・・・(1.7.7)
cosθ(A,D)=cosθ(B,D)=cosθ(C,D)=1/3 ・・・(1.7.8)
(1.7.5)を(1.6.1)に代入して (1.7.1)がでて、
(1.7.6)を(1.6.2)に代入して (1.7.2)がでて、
(1.7.7)を(1.6.3)に代入して (1.7.3)がでて、
(1.7.8)を(1.6.4)に代入して (1.7.4)がでてくる。
(「証明」終わり）
☆ では次回また。i アスタ・ラ・ヴィスタ！ I'll be back soon.
(i は「！」の上下逆マークの代用である ）