My discovery about mathematics

The next theorem may be wrong but I submit it as an idea.
Theorem 8. Theory of series is wrong.
Let e(x) be a function symbol. Put k=Z/2Z={0",1"}.
Assume consistency of A. You may set up that ∀x(e(x)=1")∈A, 0"≠1"∈A.
Put E_m=A∪{m∈d,d∈N, ∑_i∈d e(i) ∈k} (m∈N).
Like the proof of theorem 1, ∪_m∈N E_m is consistent and has a countable
model M for which M |= m∈d for ∀m∈N.
you can set up that d={c₁,c₂,…} for M for M is a countable model.
e=∑_i∈d e(i)=e(c₁)+e(c₂)+…(infinitely)…=1"+1"+…(infinitely)…∈k for M.
Seeing the sequence of symbols, you get M |= e=1"+e. M |= e+e=0" for M |= e∈k.
M |= 0"=e+e=1"+e+e=1"+0"=1" This is contradiction.♦

The next theorems may be wrong but I submit them as ideas.
Theorem 4. The standard algebra is wrong.
Proof. Assume consistency of A. Put k=Z/2Z={0",1"}. Let T be
an individual symbol which expresses a variable of the polynomials.
You may set up that ∀x((x∈N)→((T^x-1")/(T-1")∈k[T]))∈A,
(0"≠1")∈A, for these are formed for the standard model.
Let M be a model of A for which N isn't a set.
You may set up that
∀x∀y((x∈N)∧(y∈N)→(x∈y)∨(x=y)∨(y∈x))∈A,
∀x((x∈N)∧(x≠1)→∃y((y∈N)∧(x=y+1)))∈A.
If m∈N-N for M, m∋m-1∋…,…(infinitely)…∋2∋1 for M.
T^m-1"=(T-1")(1"+T+…+T^m-1)
p=(T^m-1")/(T-1")=1"+T+T²+…(infinitely)…,…+T^m-2+T^m-1　∈k[T] for M.
You need infinite terms to decide p in the standard algebra.
Let U be an individual symbol for which (T=1"+U)∈A.
p=1"+(1"+U)+(1"+U)²+…=1"+1"+…(infinitely)…,+U+U+… for M.
Seeing the sequence of symbols, you get M |= p=1"+p.
M |= 0"=p+p=1"+p+p=1"+0"=1". This is contradiction.
If A is consistent, M |= p≠1"+p.
I have used logic of algebra which you may not be able to write by logical formulas.
Such algebra proves that A isn't consistent. If A is consistent, such algebra
isn't consistent.
Other axioms to prove the above.
∀x∀y((x∈N)∧(T^x-1"=(T-1")y)→∃z((y=(∑_i∈x1")+Uz)∧(z∈k[U])) ∈A,
∀x((x∈k[T])→(x+x=0"))∈A, k[T]=k[U]∈A, ∀x(c(x)+∑_i∈xc(i)=∑_i∈{x}∪xc(i)) ∈A,
∀x(c(x)=1")∈A.
These are formed for the standard model.
Logic of algebra which you cannot write by logical formulas is
∑_{i∈{x,y,…}}c(i)=c(x)+c(y)+… .
This is the definition of the function of the left side for the countable models
of the standard algebra, for which
1"+∑_i∈mc(i)=∑_i∈m∪{m}c(i)=1"+1"+…(infinitely)
=∑_i∈mc(i). M |= p=1"+p then.
This part of the algebra is wrong if A is consistent.♦

このブログの記事"real algebraic curve"　の要点。
実代数曲線は一筆書きできるグラフの和集合と同相である。実代数曲線の分枝点
は偶点、極をもたない実代数関数にたいして、x=+∞ が奇（偶）点ならば
x=-∞ も奇(偶)点。よって実代数曲線は一筆書きできるグラフの和集合
に同相。

このブログの記事”formula giving a root" の要点。
５次以上も含めて代数方程式には解析的な解の公式がある。定数係数線形差分方程式の解も係数であらわす解の公式がある。
定理　１．x_n=e_n (1≤n≤N), x_n=c₁x_n-1+…+c_Nx_n-N (n≥N+1) ⇒
x_n=∑_1≤p≤N e_p/(2π)∑_1≤s≤n-p ∫_0≤t≤2π (∑_1≤k≤N c_ke^ikt)^s-1(∑_{N-p+1≤k≤N} c_ke^ikt)e^-i(n-p)tdt.
(n≥N+1, i²=-1)
定理　２．方程式　x^N+a₁x^N-1+…+a_N-1x+a_N=0 が重根をもたないとき、
x=lim_h→∞ lim_m→∞ lim_n→∞ x_n+1/x_n
x_n+1=∑_1≤s≤n ∫_0≤t≤2π (∑_1≤k≤N(-∑_0≤j≤ka_{j N-j}C_N-k(-1/h-i/m)^k-j)e^ikt)^s-1e^i(N-n)tdt (a₀=1)
は一つの根である。代数関数は陽関数としてあらわせる。

「青銅よりも不朽な定理」の証明。　どのテキストにも載っていないので。
もちろん「私の発見」ではありません。
F(x)=a(x-x₁)…(x-x_n) (i≠k⇒x_i≠x_k)
G(x)=∑_1≤i≤n F(x)/((x-x_i)F′(x_i))=∑_1≤i≤n ∏_{1≤k≤n, k≠i}(x-x_k)/(x_i-x_k)　とおく。
G(x)=1 はn個の根　x_iを持つ n-1次以下の方程式だから恒等式。　G(x)≡1
1/F(x)=∑_1≤i≤n1/((x-x_i)F′(x_i))　u=1/x として
uⁿ/(a(1-x₁u)…(x-x_nu))=∑_1≤i≤n u/((1-x_iu)F′(x_i))
1/(1-ux_i)=1+x_iu+(x_iu)²+… を代入して、uについてn-1次以下の項の係数
をくらべて、0=∑_0≤i≤n x_i^k/F′(x_i), 0≤k≤n-2
r=hq, h,q∈C[x], deg(h)=g,deg(q)≤g+2 (g≥1) とし F(x)=f²h-p²q,
f=a₀+a₁x+a₂x²+…+a_sx^s, p=b₀+b₁x+b₂x²+…+b_s-1x^s-1 とおく。
F(x)=0 のとき、f√h=ep√q, e=1 or -1
fh=f√h√h=ep√q√h=ep√r
F(x_i)=0 0=∂F(x_i)/∂a_k=F′(x_i)∂x_i/∂a_k+2fhx_i^k
1/√r∂x_i/∂a_k=2e_ipx_i^k/F′(x_i) (e_i=1 or -1)
I=∑_1≤i≤n ∫^x_i e_i/√r(x_i)dx_iとおく。　deg(p)+k≤n-2　だから
∂I/∂a_k=0 同様にして、∂I/∂b_k=0 I はx_iの関数、x_iは　a_k,b_kの代数関数だから、I=C Cは定数。
たがいに異なる　2s個の任意の量　y_i (1≤i≤2s) が与えられたとき、f(y_i)√h(y_i)-p(y_i)√q(y_i)=0 は
a_k,b_k 達についての、連立一次方程式で、変数は2s+1個、式は2s個だから、自明でない解をもち、
a_k,b_kは　R=Q(y₁,√h(y₁),√q(y₁),…,y_2s,√h(y_2s),√q(y_2s))　の元となる
a　も、そのとき定まる。
F(x)=a(x-v₁)…(x-v_g)(x-y₁)…(x-y_2s) とおけて、(x-v₁)…(x-v_g) (∈R[x]) が重根をもたないとき、
∑_1≤i≤2s ∫^y_i dy_i/√r(y_i)=∑_1≤i≤g e_i∫^v_i dv_i/√r(v_i)+C (e_i=1 or -1)
これがAbelの加法定理。　r が２，３，４次式のときは、g=s=1 とおけて、本来の加法定理になる。
r=4x(x-k₁)(x-k₂)(x-k₃) のとき、Q=(x²-k₁)(x²-k₂)(x²-k₃) とおけば
∫^ydy/√r=∫^zdz/√Q (z²=y), -∫^ydy√r=∫^-zdz/√Q
∫^y₁dy₁/√Q +∫^y₂dy₂√Q=∫^wdw√Q+C
wはy₁とy₂から四則と平方根であらわされる量。
曲線　Y²=Q(X) の種数は２だが　積分∫dX/√Y の種数は１。t=∫^zdz√Q-C の逆関数を
z=sm(t)とすれば　sm(t+u)=w(sm(t),sm(u))。
たとえば　t=∫^zdz/√(1-z⁶)の逆関数は、このような加法定理をもつ。