The next theorem is wrong.
Theorem (?). If F(x) is a number-thoretic logical formula,
∃n,G(F(n))=n. (G(L) is Gödel number of L.)
A counter example. F(x)=(x=1).
s(1)=2, s(2)=3, … s(n)=n+1,…
G(1)≥1. G(n)≥ n→ G(n+1)=G(s(n))=2G(s)3G(n)≥213n>2n+1>n+1.
∴ G(n)≥n for ∀n(∈N).
G(F(n))=2G(n)3G(=)5G(1)≥2n3151>n.
G(F(n))>n for ∀n(∈N).
Remark that you may not be able to write
F(G(Px(x)))=((x=1)→F(G(P1(1))))∧((x=2)→F(G(P2(2))))∧… (infinitely)
as a logical formula.
* * * * * * *
For Q(x), put L(x)=∃y∃z(subF"(1,x,y,z)∧N(x,z)∧Q(y)) and m=G(L(x)) and L=L(m).
Then, M |= L ⇔ M |= Q(G(L)).
M |= subF"(i,b,c,G(t)) ⇔ ∃r(ai), M |= G(r(ai))=b, M |= G(r(t))=c.
M |= N(b,c) ⇔ ∃m∈N, M |= m=b, M |= G(m)=c.
Theorem (?). If F(x) is a number-thoretic logical formula,
∃n,G(F(n))=n. (G(L) is Gödel number of L.)
A counter example. F(x)=(x=1).
s(1)=2, s(2)=3, … s(n)=n+1,…
G(1)≥1. G(n)≥ n→ G(n+1)=G(s(n))=2G(s)3G(n)≥213n>2n+1>n+1.
∴ G(n)≥n for ∀n(∈N).
G(F(n))=2G(n)3G(=)5G(1)≥2n3151>n.
G(F(n))>n for ∀n(∈N).
Remark that you may not be able to write
F(G(Px(x)))=((x=1)→F(G(P1(1))))∧((x=2)→F(G(P2(2))))∧… (infinitely)
as a logical formula.
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For Q(x), put L(x)=∃y∃z(subF"(1,x,y,z)∧N(x,z)∧Q(y)) and m=G(L(x)) and L=L(m).
Then, M |= L ⇔ M |= Q(G(L)).
M |= subF"(i,b,c,G(t)) ⇔ ∃r(ai), M |= G(r(ai))=b, M |= G(r(t))=c.
M |= N(b,c) ⇔ ∃m∈N, M |= m=b, M |= G(m)=c.
そうね。でもゲーデルはそんな命題使ってないよ。だから、ゲーデルのミステイク、ではないね。
ゲーデルのdiagonal lemmaは
任意のF(x)について
L⇔F(G(L))
が証明できるLが存在する、といっている。
ここでG(L)=G(F(G(L)))ではないことに注意。
とにかく、このブログを読んでくださって本当にありがとうございます。 同じくゲーデルがらみの
"The final problem"も読んでくださると、うれしいです。実数論は(ある意味では自然数論も)整合ではない、という定理の証明が目標です。
本のタイトルと、定理の全文を、省略なしで書いていただけないか?
もし、あなたのいう通りの文章が書かれているなら、その本が間違っていることになる。
1994,2 有名な本らしいです。
今売ってる本は修正されてるかもしれませんが、東京の江戸川区や葛飾区の図書館の本はP197に、
「任意の式 F(x) に、自然数 n があって
g(F(n))=n となる。」
と書かれてます。野矢先生は多分 ゲーデルの原論文
を、お読みのはずで、原論文も大丈夫なのでしょうか?
ゲーデルの論文では、もちろん、上記の”(偽)定理”は出ていない。
ゲーデルの原論文は、和訳が岩波文庫で出ているので、読んでほしい。
ただ、フツーの人は、読んでも意味がわからないと思うので、アイデアだけ以下に記す。
任意のF(x)に対してそのゲーデル数nが存在する。
n中のxにmを代入した場合のゲーデル数を
subst(n,m)とする。
F(subst(x,x))のゲーデル数を、fsxとし、
F(subst(fsx,fsx))のゲーデル数、fsdとすると
F(subst(fsx,fsx))
⇔F(fsd)
となる。
なぜなら
subst(fsx,fsx)の値は、fsxが表す
F(subst(x,x))のxにfsxを入れたもの、つまり
F(subst(fsx,fsx))のゲーデル数、fsd
と等しい。
注意) F(fsd)のゲーデル数はfsdではない!
岩波文庫の「不完全性定理」書店で見つけました。まだ買ってませんが。
ところで、もしゲーデルの定理が正しければ、フェルマー予想とリーマン予想は証明不可能である事が証明できました。(このブログの記事”Riemann hypothesis 3")もし、これが正しければゲーデルかワイルズの証明の、どちらかが間違ってる事になる。
どう思います?