2012年長野県公立高校入試数学第4問その2

どもども。

前回の続きで2012年長野県公立高校入試数学第4問の続きをやっていきます。
前回のはこちら
http://blog.goo.ne.jp/mathnegi/e/8ec6f1b22153305034fa128433f71b17

円やら相似やらが出てくる，幾何の問題でした。
後半戦の(2)2番と(3)を残していました。



(2)2番
∠ＢＡＱ＝９０°，ＡＢ＝３cm，ＡＱ＝９cmのときに円の直径を求めよ，
という問題です。
ＡＢとＡＱの長さが分かっているので，1番で得たＡＢ^2＝ＡＰ×ＡＱを
用いればＡＰの長さが分かります。
直角三角形ＡＢＰにおいて三平方の定理を使えばＢＰが求められます。
基本かつ重要ながら意外と見落としやすい点ですが，
∠ＢＡＰ＝９０°であることからＢＰが円の直径であることが分かります



さて，今回も別解を考えてみましょう。簡単か面倒かは別として非常に
多くの解法が考えられる問題ではあります。
ＢＰ自体は△ＡＢＰか△ＢＰＣで三平方の定理使う解法が多そうですが，
ＡＰ，ＰＣ，ＢＣ辺りの長さを求める手法は多岐に渡ります。
ＡＰ＝ａ，ＰＣ＝ｈとおいてみます。
また，ＡからＢＣに垂線ＡＨを下しておきます。



利用できそうな条件が沢山あります。
ＡＨ⊥ＢＱ　　ＡＨ//ＰＣ　　ＡＰ：ＰＱ＝ＨＣ：ＣＱ
ＢＯ：ＯＰ＝ＢＨ：ＨＣ　　ＡＨ：ＰＣ＝ＡＱ：ＰＱ＝ＨＱ：ＣＱ
ＢＨ＝ＨＣ　　ＯＡ＝ＯＢ＝ＯＰ
△ＡＢＰ∽△ＡＱＢ∽△ＣＱＰ∽△ＨＡＢ
他にも方ベキの定理，メネラウスの定理，トレミーの定理や
面積の関係式なんかも使えそうです。
全部やってたらキリがないので，２，３挙げるにとどめておきます

ＡＨの長さは面積の関係式から直ちに求めることも出来ます。



△ＡＢＨ∽△ＱＢＡの関係式を使うとＢＨもあっさり求められます。
あるいは直角三角形ＡＢＨで三平方とか。



ＡＨ，ＢＨの長さが分かっていれば，最後は相似関係でフィニッシュも
できますね。



続いてはａを求める方法を幾つか挙げてみます。
まずはＡＰ：ＰＱ＝a：(９－ａ)よりＢＨ：ＨＣ：ＣＱ＝ａ：ａ：(９－ａ)
になる事や，面積の関係式を用いてａを求めてみるやり方です。



次は△ＯＢＨにおいてＯＢ^2＝ＯＨ^2＋ＢＨ^2で立式しています。



上で使ってるＢＨ＝(3√10a)/(a+9)と合わせて，(3√10a)/(a+9)＝3/√10
を解いてa＝１を求めるというのも良いですね
あるいは辺の比などの関係式などと合わせるのも良さそうです。


まだまだ色々ありますが，これくらいにして～
といいつつ一応，高校数学の三角比を用いた解法も1個挙げときますか。



外接円絡みなので正弦定理なんかも使えますね

(3)
今度は△ＡＢＣが正三角形の場合です。ころころ状況が変わっていくので
受験生にとっては迷惑な話です。無駄に問題数が多いような錯覚をしてしまうかもしれません


さて，６０°の角がいっぱいあります。△ＡＢＣの各角と円周角の定理から
導かれる∠ＡＰＢ，∠ＢＰＣ。見落としやすいですが∠ＣＰＱもまた６０°に
なっています。さらにいうと∠ＡＣＱ＝１２０°です。
２角相等によって相似が導かれる(2)までとは違う三角形が幾つかあります。



恐らくはこれらの相似関係を利用して解くのが出題側の考える模範解答かと思います。



この問題も非常に解法パターンは沢山考えられる問題です。
上記解答の後半は例えばＣＱを求めてＢＣと足すという方針でもＯＫです。
　


ℓを求めるのには例えば△ＰＡＣ∽△ＣＡＱより導かれる
ＣＡ：ＡＱ＝ＡＰ：ＡＣから　ℓ：７＝４：ℓ
として求めるのもいいですね。

この問題ではＰＢ＝６cm，ＰＱ＝３cm，ＰＣ＝２cmが与えられていますが，
実はＰＢ＝６cm，ＰＱ＝３cmの時点で図が一意的に定まっていて，
ＰＣ＝２cmという情報は必要ありません
従って，無くても解けるのですがわざわざ親切に付記してくれたのは
上で述べたような相似関係を用いた解法を使うことを主に想定しているからだと思います。

ＰＣ＝２cmを知らない状態で△ＰＢＱと△ＰＡＣの相似比が３：２で
あることを導くには，例えばＰＣが∠ＢＰＱの２等分線であることを利用する
作戦とかがあります。
角の２等分線と線分比の関係は中学生なら知ってる人は必ずしも多くはないかもしれませんが，
ＢＣ：ＣＱ＝ＰＢ：ＰＱ＝２：１が成り立ちます。
これによりＢＱ＝(3/2)ℓになるので，△ＰＢＱと△ＰＡＣの相似比は
ＢＱ：ＡＣ＝３：２となります

ここでＰＣ＝２cmを一切使わないでＢＱを求める解法を挙げてみます。

ＡとＢからそれぞれ垂線ＡＨとＢＩを引いてみます。
いま使うのはＢＩのほうです。


あっさりやっつけてしまいました
図形をはみ出した補助線を使って，Ｑから直線ＢＰ上に垂線ＱＪを下ろして
△ＰＪＱに着目する手もありますね。

次はＡＨを利用してℓを求めてみます。



さて，ＡＰ＝４cmは，トレミーの定理なんかを使ってもすぐ得られます。
ややマイナーな定理ですが，結構役立つ定理なんで自分は大好きです


次はメネラウスの定理と方ベキの定理を使ってＡＣを求めてみます。


さっきの問題と同様に三角比を用いた解法も挙げてみます。
一例として△ＰＢＱで正弦定理を使ってみました。



最後にちょっと大掛かりな解法を挙げてみます。
図を見れば分かると思いますが，△ＰＡＣは△ＰＢＱを点Ｐを中心に
６０°回転移動したあと点Ｐを中心に2/3倍に縮小したものになっています

そこで縮小せずに回転移動だけしたものを△ＰＢ'Ｑ'とおいてみますね。


回転角が６０°なので△ＰＱＱ'と△ＰＢＢ'はそれぞれ１辺３cm，６cmの
正三角形になっています。ＢＱ＝Ｂ'Ｑ'なのでＢ'Ｑ'の長さを求めれば
ＯＫです。



上図のように，２つの正三角形が隣り合っていてる図形を考えて
Ｂ'とＱ'を結んでその長さを求めよ，というシンプルな問題に還元されました。これを求めるのは容易です。


ＢとＱを結んでＢＱを求めてるのが少し上に挙げたＰＣ＝２cmを利用せずに
さくっと解いた解法に相当します。もちろんそっちの方が簡単です。
この問題では無駄に大掛かりになっていますが，
よく分からない難しい補助線をあれこれ引かなきゃいけない図形の問題（ラングレーの問題とか）なんかでは
回転移動の発想は意外と有効だったりします。正三角形や直角二等辺三角形とかを
作り出すのに便利だし！