ｍとｎについての２次以下の多項式で、係数の絶対値が３以下の整数であるものを
３つ用意しこれをX、Y、Zとする。
これらを使って恒等式：X^2-XY+Y^2=Z^2を満足させることは出来ますか。可能ならば1例を挙げてください。不可能ならばなぜ不可能か説明してください。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
背景
ピタゴラス数X,Y,Z（1つの角は90°の三角形の3辺の長さである)についてはX=m^2-ｎ^2、Y=2mn、Z=m^2+n^2がX^2+Y^2=Z^2を満たすことはよく知られています。これと同類のことを1つの角が60°の三角形で出来ますかときいているのです。係数は本質的に整数ならば何でもいいのですが、あんまり本質的でない意地悪をしないでね。とお願いしているだけです。
３つ用意しこれをX、Y、Zとする。
これらを使って恒等式：X^2-XY+Y^2=Z^2を満足させることは出来ますか。可能ならば1例を挙げてください。不可能ならばなぜ不可能か説明してください。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
背景
ピタゴラス数X,Y,Z（1つの角は90°の三角形の3辺の長さである)についてはX=m^2-ｎ^2、Y=2mn、Z=m^2+n^2がX^2+Y^2=Z^2を満たすことはよく知られています。これと同類のことを1つの角が60°の三角形で出来ますかときいているのです。係数は本質的に整数ならば何でもいいのですが、あんまり本質的でない意地悪をしないでね。とお願いしているだけです。
ちなみに，120°の場合もできます。
以前に考えたことがありました。
Y=2*m*n-n*n
Z=m*m+n*n-m*n
mだけの以下の式も質問の答としては当たっていると思うのですが？(n=1としたもの）
X=m*m-1
Y=2*m-1
Z=m*m-m+1
120度のとき
X=m*m-n*n
Y=2*m*n+n*n
Z=m*m+m+1
X=m*m-1
Y=2*m+1
Z=m*m+m+1
最初、題意が理解できませんでした。ピタゴラス数も含め勉強になりました。
役に立ちそうな話ですね
因みにどのように見つけましたか？
120度のときのZ
Z=m*m+n*n+m*n
ぽっぽさんが「算チャレ」に関連コメントを投稿！！
後で、自分なりに検討しここにコメントします。
uchinyanさんがあちらで答えておられます。
それによるとcosAが有理数であれば、有理数を係数とする式が存在するとのことです。
AB=5,AC=6、BC=7における三角形のcosA＝0.4です。
たしかに、この三角形の、角Aを固定し三辺の長さを変動させるときそれらが整数となる例として以下を得ました。
ただし、これらをフォローできる上記様式の式を自分で見つけることは、係数の可能性が多すぎて出来そうにありません。（60度のときの式はプログラムでしらみつぶしに探索）
5,6,7
6,15,15
7,10,11
9,50,49
11,50,49
15,28,29
15,56,55
16,105,103
、
cosAの値から上記様式の式の導入方法のご教示お待ちいたします。
Z^2 = X^2 + Y^2 - 2XY * cosA
ここで，r = - 2 * cosA とすれば，
Z^2 = X^2 + Y^2 + rXY
このとき，X = m^2 - n^2, Y = 2mn + rn^2 とすると，
X^2 + Y^2 + rXY
= (m^2 - n^2)^2 + (2mn + rn^2)^2 + r(m^2 - n^2)(2mn + rn^2)
= m^4 - 2 * m^2 * n^2 + n^4 + 4 * m^2 * n^2 + 4r * m * n^3 + r^2 * n^4
+ 2r * m^3 * n - 2r * m * n^3 + r^2 * m^2 * n^2 - r^2 * n^4
= m^4 + r^2 * m^2 * n^2 + n^4 + 2r * m^3 * n + 2 * m^2 * n^2 + 2r * m * n^3
= (m^2 + rmn + n^2)^2
なので，Z = m^2 + rmn + n^2 とすればいいです。ここまでは，r は無理数でも構いません。
本題は，r = -1，cosA = 1/2，A = 60°，なので，
X = m^2 - n^2, Y = 2mn - n^2, Z = m^2 - mn + n^2
AB = 5，AC = 6，BC = 7 の場合は，
cosA = (5^2 + 6^2 - 7^2)/(2 * 5 * 6) = 12/60 = 1/5，r = - 2/5
X = m^2 - n^2, Y = 2mn - 2/5 * n^2, Z = m^2 - 2/5 * mn + n^2
整数係数に限るならば，X, Y, Z をすべて 5 倍しても Z^2 = X^2 + Y^2 + rXY は成り立つので，
X = 5(m^2 - n^2), Y = 10mn - 2n^2, Z = 5m^2 - 2mn + 5n^2
とすればいいです。一般に，r が有理数のときは同じことが可能です。
ただし，これは，X, Y, Z には定数倍だけの不定性があることを意味しているので，
実際に意味のあるのは，X：Y：Z であることに注意が必要です。例えば，
m = 2, n = 1, X = 15, Y = 18, Z = 21, X：Y：Z = 5：6：7
m = 3, n = 1, X = 40, Y = 28, Z = 44, X：Y：Z = 10：7：11
m = 3, n = 2, X = 25, Y = 52, Z = 53, X：Y：Z = 25：52：53
など。ぱずるさんの例示の値が再現することはプログラムで確かめましたが，
m, n が，かなり大きな値でないと出て来ないものもあるようです。
なお，多分，X, Y, Z の式をどうやって求めたのかを知りたいだろうと思いますが，
大分長くなってしまったので簡単に。
ピタゴラス数を求めるときにも使われる手法ですが，
X^2 + Y^2 + rXY = Z^2
の両辺を Z^2 で割って，x = X/Z, y = Y/Z とおいた
x^2 + y^2 + rxy = 1
のグラフと y = t(x + 1) の交点を考えます。t = n/m とおいたものから求める式が得られます。
詳細は，私の解答で恐縮ですが，また，A = 120°の場合ですが，
http://www2.ocn.ne.jp/~mizuryu/renzoku.html
のNO.215の解答のuchinyanのものの(別解)をご覧ください。
前半部分、丁寧な解説のおかげで理解できました。本当にありがとうございます。
後半部分、別サイトを訪問し、確認させていただきましたが、今の自分には荷が重く、パスさせていただきました。