お題 算数 ～ 三角形の面積 ４題
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久々の算数のお題です。
今回のお題はすべてネットで拝見したものになります。お暇なお時間の暇つぶしにでもどうぞ、、
-- 面積 เนื้อที่ /nʉ́a thîi ヌア ティー 面積,広さ,スペース ※ごったい先生作 พื้นที่ /pʰɯ́ɯn tʰîi 土地面積 ※タイ語辞書先生作
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーー 【 問題 】 画像を見て次の（１）～（４）の問題に答えてみてください。
（１） 次の（画像・１）の三角形の面積を求めてください。 （画像・１）
（２） 次の（画像・２）の三角形の面積を求めてください。 （画像・２）
（３） 次の（画像・３）のように、３００ｃｍ＾2の平行四辺形の中にある青い三角形の面積の和を求めてみてください。 （画像・３）
（４） 次の（画像・４）のように、すべての辺の長さが整数で、面積も整数で同じ値の三角形は５つしかないことを証明してください。
（画像・３）
★☆ 時節項の下にお題のこたえがあります👇 ★☆
ーーー 初版20230701
ー①②➋③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩
★☆ 👇下にお題の答えがあります ★☆
ーーーーーーーーーーーーー （１）こたえ ８ｃｍ＾2
（出展； Youtube⇒ ）
（２）こたえ ２５ｃｍ＾2 角度から、次のように正方形の中に正三角形を入れたときの図形になることを使います。
（出展； Youtube ⇒https://youtu.be/sdGNkz5Dycg）
（３）こたえ １１１ｃｍ＾2 三角形の相似比を使います。
図のような△ABCと△ADEを考えたとき、赤線、EDとCBは平行なので、同位角で△ABC∽△ADEとなります。
CBは正三角形の1辺であり、ABは正三角形の辺が5つ分になっています。 つまり△ABCと△ADE相似比は5：1になります。
よって、ED＝1/5CBとなります。
これを、使ってのこりの３つも相似比を求めると、
ED ＝ 1/5CB
GF ＝ 2/5CB
IH = 3/5CB
KJ = 4/5CB となり、色のついた三角形は全て相似になるのでその相似比は左から順に、1：2：3：4：5
一番左の小さい三角形の面積を■とすると、5つの三角形の面積はそれぞれ、
■、■×４、■×9、■×16、■×25 なので、和は ■×55となる。
上の青い三角形でも同じことが言えるので、色のついている部分の面積は ■×５５×２ ＝ ■×１１０ となります。
あとは1つの正三角形の面積をこの■を用いて表すことを考えればよいので、、
上図の赤線と青線の比は、赤線：青線＝5：1
よって、上図の青い三角形の部分の面積は正三角形の5/6となる。
また、上図の青い三角形の部分の面積は■×25だったので正三角形の面積を▲とすると、
■×25 ＝ ▲ × 5/6
▲ ＝ ■ × 25 × 6/5
＝ ■ × 30 となり、、
よって平行四辺形の面積は正三角形10個分なので ■×300 となる。
また平行四辺形の面積は300㎠なので、
■×300 ＝ 300 ㎠ より、
■ = 1 ㎠と求まりる。
よって、青色部分の面積は
∴ ■×111 ＝ １×111 ＝ １１１㎠
（出展； https://www.soranokillingtime.com/interesting_math_problems/beautiful-parallelogram/#i-3）
（４）こたえ ： すべての辺の長さが整数で、面積も整数の三角形は、「ヘロン三角形」と呼ばれています。
ということで、ヘロン三角形の一般式を持ち出します。
まずは3辺の長さは、
a：b：c=n(m2+k2)：m(n2+k2)：(m+n)(mn-k2)
続いて、面積Sは、
S=mnk(m+n)(mn-k2)
最後に、周長Pは、
P=a+b+c=2mn(m+n)
但し、m、n、kは自然数で、
gcd(m,n,k)=1
mn > k2 ≥ (m2n)/(2m+n)
m ≥ n ≥ 1
とする。
面積Sと周長Pが等しいので、
mnk(m+n)(mn-k2)=2mn(m+n)
m≠0、n≠0、m+n≠0より、
k(mn-k2)=2
mn-k2=2/k
k2=mn-2/k
この式をa：b：cの式に代入すると、
a：b：c=n(m2+mn-2/k)：m(n2+mn-2/k)：(m+n)(2/k)
aのnがkの倍数だとすると、bのmもkの倍数となり、gcd(m,n,k)=kとなり反する。
よって、kは2の約数、つまりk={2,1}に絞られる。
また、kの上限mに着目すると、
m ≥ n ≥ 1
より、
nを最小値の1として、
mn > k2 ≥ (m2n)/(2m+n)
より、
m > k2
√m > k
となり、
8 ≥ m ≥ 2, m ≥ n ≥ 1, 2 ≥ k ≥ 1
の範囲だけを調べればよい。
(m, n, k) ⇔ (a, b, c, S, P)
(2, 1, 1) ⇔ (5, 4, 3, 6, 12) ⇒ (10, 8, 6, 24, 24)
(2, 1, 2) ⇔ k2 > mnで不適
(2, 2, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(2, 2, 2) ⇔ gcd(m,n,k)≠1で不適
(3, 1, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(3, 1, 2) ⇔ k2 > mnで不適
(3, 2, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(3, 2, 2) ⇔ (26, 24, 10, 120, 60) ⇒ (13, 12, 5, 30, 30)
(3, 3, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(3, 3, 2) ⇔ (39, 39, 30, 540, 108) ⇒ (13, 13, 10, 60, 36) ⇒ 面積と周長が異なり不適
(4, 1, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(4, 1, 2) ⇔ k2 > mnで不適
(4, 2, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(4, 2, 2) ⇔ gcd(m,n,k)≠1で不適
(4, 3, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(4, 3, 2) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適、k=2で下限を下回るので、m=4はこれ以降調査不要
(5, 1, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(5, 1, 2) ⇔ (29, 25, 6, 60, 60)
(5, 2, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(5, 2, 2) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適、k=2で下限を下回るので、m=5はこれ以降調査不要。
(6, 1, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(6, 1, 2) ⇔ (40, 30, 14, 168, 84) ⇒ (20, 15, 7, 42, 42)
(6, 2, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(6, 2, 2) ⇔ gcd(m,n,k)≠1で不適
(6, 3, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(6, 3, 2) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適、k=2で下限を下回るので、m=6はこれ以降調査不要。
(7, 1, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(7, 1, 2) ⇔ (53, 35, 24, 336, 112) ⇒ 面積と周長が異なり不適
(7, 2, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(7, 2, 2) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適、k=2で下限を下回るので、m=7はこれ以降調査不要。
(8, 1, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(8, 1, 2) ⇔ (68, 40, 36, 576, 144) ⇒ (17, 10, 9, 36, 36)
(8, 2, 1) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適
(8, 2, 2) ⇔ k2 < (m2n)/(2m+n)で不適、k=2で下限を下回るので、m=8はこれ以降調査不要。
∴ (10, 8, 6), (13, 12, 5), (29, 25, 6), (20, 15, 7), (17, 10, 9)
の5種類のみである。
（出展； ／アメブロ⇒https://ameblo.jp/knife1968/entry-12571584961.html）
ーーーーーーーーーーーーーーーーー M:【ヘロンの三角形 とは 】
幾何学において、★3辺の長さと面積の全てが整数となる三角形である。 この名称は、3辺の長さと面積を関連付けたアレクサンドリアのヘロンに由来している。 広義には、3辺の長さと面積が全て有理数であるものも含まれる。
性質
3辺の長さがすべて整数である直角三角形は、面積も整数となる。よってこれらはすべてヘロンの三角形である。
直角三角形でないヘロンの三角形の例として、3辺の長さが 5, 5, 6 の三角形がある（面積は 12）。この三角形は合同な2つの直角三角形をつなぎ合わせたものと見ることができる。この考え方は右の図のように一般化できる。
a, b, c が直角三角形の3辺であり a, d, e もそうであるとすると、長さ a の辺で両者をつなぎ合わせた三角形（3辺の長さは c , e , b + d ）の面積は 
すべてのヘロンの三角形が2つの「3辺の長さが整数である直角三角形」に分割されるとは限らない。一例として、3辺の長さが 5, 29, 30 である三角形がある。この三角形の面積は 72 でありヘロンの三角形の条件を満たすが、どの方向に配置しても高さが整数とならない。最初の条件を「3辺の長さが有理数である直角三角形」に緩和すると、常に分割は可能となる。例にあげた 5, 29, 30 の三角形は、7/5, 24/5, 5 と 143/5, 24/5, 29 の2つの三角形に分割することができる。全て有理数なので、適当な整数（この場合は5）をかけることにより全ての辺を整数にすることができる。
定理
全てのヘロンの三角形は、3辺の長さが有理数である2つの直角三角形に分割することができる。
証明
右の図において、b + d, c, e および面積 A は整数と仮定する。 b + d は c, e より長いと仮定しても一般性を失わない。この仮定により、垂線の足が辺上に来ることが保障される。c, e は有理数（整数）なので、a, b, d が有理数であることを示せばよい。
この三角形の面積の式は以下の通りである。
この式を a ついて解くと以下のようになる。
仮定より 
ピタゴラスの定理より以下の2式が得られる。
上の式から下の式を引いて変形する。
ヘロンの三角形の3辺の長さは以下の式で表すことができる。
-
面積の小さいヘロンの三角形の例をあげる。
ここでは、3辺の長さが互いに素であるヘロンの三角形を、面積・周長の順に並べている。
面積 周長 b+d の長さ e の長さ c の長さ 6 12 5 4 3 12 16 6 5 5 12 18 8 5 5 24 32 15 13 4 30 30 13 12 5 36 36 17 10 9 36 54 26 25 3 42 42 20 15 7 60 36 13 13 10 60 40 17 15 8 60 50 24 13 13 60 60 29 25 6 66 44 20 13 11 72 64 30 29 5 84 42 15 14 13 84 48 21 17 10 84 56 25 24 7 84 72 35 29 8 90 54 25 17 12 90 108 53 51 4 114 76 37 20 19 120 50 17 17 16 120 64 30 17 17 120 80 39 25 16 126 54 21 20 13 126 84 41 28 15 126 108 52 51 5 132 66 30 25 11 156 78 37 26 15 156 104 51 40 13 168 64 25 25 14 168 84 39 35 10 168 98 48 25 25 180 80 37 30 13 180 90 41 40 9 198 132 65 55 12 204 68 26 25 17 210 70 29 21 20 210 70 28 25 17 210 84 39 28 17 210 84 37 35 12 210 140 68 65 7 210 300 149 148 3 216 162 80 73 9 234 108 52 41 15 240 90 40 37 13 252 84 35 34 15 252 98 45 40 13 252 144 70 65 9 264 96 44 37 15 264 132 65 34 33 270 108 52 29 27 288 162 80 65 17 300 150 74 51 25 300 250 123 122 5 306 108 51 37 20 330 100 44 39 17 330 110 52 33 25 330 132 61 60 11 330 220 109 100 11 336 98 41 40 17 336 112 53 35 24 336 128 61 52 15 336 392 195 193 4 360 90 36 29 25 360 100 41 41 18 360 162 80 41 41 390 156 75 68 13 396 176 87 55 34 396 198 97 90 11 396 242 120 109 13 (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20), (9,10,17) の5つは、周長と面積が等しい。 （Wiki）
ー 初版20230701
ー時節項追記同日深夜未明※30金の内容が中心 ①山口を含む九州北部・南部 線状降水帯 30金午後から1土午前にかけ 気象庁30金午前 ▷JR西 一部運航 取りやめ ▶北海道・雌阿寒岳 火山性地震 ２００回超 ②マイナ返納運動 Tw 広がる ＞ 当然かと、、 ▷マイナ証明書交付 再停止 富士通 ▷マイナ総点検 ８上旬 中間報告 ＞ つまり当分不備は続く可能性があるということ。 何度も書かせて頂いているが、その１カ月以上の期間、困るお年寄りなど利用弱者の事をまったく考えていない無配慮な悪政かと、、 ▷タワマン 節税防止に 新算定方法案 ➋露プ大統領 市民と交流 ハグに投げキッスも ＞ 民意統制？ゴマスリ？戦費捻出？←ロクでもないイメージしか浮かばん ▶ブリゴジンの変で 将軍ら粛清か 軍内部に生じた変化 ▶ウ南部の原発 職員 退避開始か ▶米・ブリンケン国務長官 「露国内に明らかな亀裂」 ▶ブジゴジン事変 プ政権の終わりの始まりか ▶仏少年射殺 暴動 ６６０人超拘束か ▶香港国安保 息苦しさ 通報４０万件超 ▶日本人記者 香港 入国阻まれる ③円下落 財務相 高い緊張感で「注視」 ＞ 視てるだけ～ ▷巻き網船イワシ漁 好調 八戸前沖に漁場形成 ＞ 去年は北海道でしたが、、 ▷東電管内 節電要請帰還に 7/1から ▷日本郵政 楽天株で 損失計上へ ▷コカコーラ １．５L ＠３８０円に ＞ 大きなスクリューキャップのガラスリターナル瓶の最後は200円だった記憶も、、 ▷トヨタ 前社長報酬 ９億９９００万円 ＞ 10億行かさなかったのは？ ➌ＥＵ 日本産食品の輸入規制 撤廃へ ④沖縄 第八波超える感染状況に ➍英 蝙蝠からヒトに感染 新型コロナウィルス発見 ⑤柔道史上最速 五輪内定 阿部兄妹ら ▷ＪＯＣ 札幌招致「難しい」 ▷熱闘甲子園 斎藤佑樹氏 新加入 ＞ 前にも居たような、、 ⑥元巨人投手・小野仁容疑者(46) 万引きで逮捕 ウイスキー７本販売目的生活費確保で ＞ 気が弱くて使えなかったあの投手？ ▷国家公務員 夏のボーナス 約５万円増 ＞ これも逆だと思うのだが、、 ▷ノジマ 下請法違反 公取委勧告 ▷ＷＯＷＯＷ 個人情報漏洩 謝罪 ➏歩く歩道に巻き込まれ 足切断 タイ・ドンムアン空港 ▶コンサート会場に 雹 観客「痛い！」～米コロラド州 ▶巨大な火の玉 パリで爆発 デザイン学校入るビル崩れる ＞ 何だこのニュース、、 ▶コロッセオに名前 刻んだ観光客 警察が身元確定～イタリア ＞ 正に汚名。。何処の国にもこういう事する人が居るんですね、、 ⑦熊本震災から７年振り 阿蘇神社の楼門 荘厳な大屋根再び ➐退学の人種優先 意見 米最高裁 ▶自力で金を 川底にキラリ 200年振りゴールドラッシュ再来～米カリフォルニア ＞ 豪雨の影響が原因だとか、、 ⑧食物アレルギー 児童生徒 ５２万人 ▷熊慌てて去る 「対策犬」の効果 ＞ 全部には対応でいるとは思わないけれど勇敢なｲﾑたちかと、、 ⑨侍Ｊ 監督候補 工藤氏に一本化か ▷ハム ガント＆メネズ両党首が自由契約 ＷＢ工事もオファーなし ▷ホークス 今やドミニカで「一番有名」な日本チーム ＞ 昔はカープアカデミーがあった広島でしたが。。 現在在籍54名の育成選手中6人が外国選手、うち4人※が10代、、若い子らの就職口だからかな。因みにモイネロも育成出身、21歳来日で背番号143だった。 ※最年少はホセ・オスーナ(16；ﾄﾞ外)で15で入団。アレクサンダー・アルメンタ(19；ﾒｷｼｺ投)、ブランケリー・ヘラルディーノ(19；ﾄﾞ内)、マルコ・シモン(19；ﾄﾞ外) ▷救援の選手間投票 阪神 ２人 🔴昨日30金のNPB結果 《C》神１－２巨[10回ｻﾖﾅﾗ] 広８－０ヤ 中２－１De 《P》オ５－１ハ ソ３－１西 楽５－４ロ ➒大谷 歴史的６月 トラウト絶賛 ＞ 29号2ランをWS戦で打ち、月間14本は球団新。 ▶大谷特大２９号 １３４Ｍ二点弾 ▶大谷に申告敬遠 場内 大ブーイング ▶ゲレーロｊｒ ４年振りホームランダービー 出場決定 🔴昨日のMLB結果 《A》T８－５TxR Ga３－４Roy NY１０－４Ath WS７－９A▶大谷3指 3-1 2打点 1本塁打 .309 《N》Pad４－５P Bry３－２Met F３－１Cub D１４－３Roc 《Ｉ》Ray６－１DB Maa２－０RS▶吉田6指 3-0 .294 G１－２BJ Ast１４－０Kaj▶ヌート3ﾗｲﾄ 4-0 .254 ⑩渡辺謙氏 再々婚
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