順序数記法と到達可能定理！？

こんにちは！適当に大学生しているらむねです！

 

今日は、プレゼンサークル「LAP!」で

順序数記法という、数学の分野(?)についての発表があったので

いつものように、簡単にまとめてみようと思います！！！

 

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Def.1　順序数記法とは？

LAP!での発表は

基本、話す人以外全員初心者なので

そもそもそれってなんなんだよ！！！

ってところから始まります。

 

数学の言葉でいうところの定義というやつで、

順序数記法ってのは下の条件を満たすやつのことだそうです！

ちょっといろいろかいてありますが、

• 0は順序数記法
• なんかの順序数記法 a を取ってくると、それを w の右上に乗せたやつも順序数記法
• 順序数記法を並べたやつも順序数記法

ってことみたいです！

 

0が順序数記法なので

0を右上に乗っけたやつとか、並べたやつとかを考えてくと

仲間が沢山作れるみたいですね！

 

ちなみに、数字を右上に乗っけると

いわゆる○乗みたいに見えますが

そもそも積を定義してないので(?)、そういう風には考えないそうです！

（私はここで？？？となってしまいました......）

 

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Def.2　順序数記法の順序関係（大小関係）

さて、上のように定義した順序数記法たちですが、

上手やってあげると

大小関係を考えられる

そうです！

 

ちなみに、数学の世界では

大小関係のことをかっこつけて「順序関係」とかいったりします......

 

ここで、上手にやるっていうのは、

どちらが大きいか判定するルールを作る

ことです。

 

はい、ここも定義ですね。

下の画像のように定義していました！

はいここまで！

合計7つの判定ルールを組み合わせることで

どんな順序数記法の組合わせにも大小を比べることができるようになりました！

 

ホントはそれぞれ詳しく説明したり

ちゃんと大小関係ができてるか確認したりしたいのですが、

ちょっと省略させてください......

 

ざっくり説明すると、

• 0は1番小さい（マイナスにはならない！）
• 1個ずつのやつは、右上に乗ってるやつの大小で判定！
• 並べたやつは、辞書式みたいに左から見ていく！
• 列にいろいろくっつけると大きくなる！

って感じみたいです。

 

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Def.3　きれいに並んだ順序数記法（標準形）

さて、ここまでで、

• 順序数記法とはなんなのか
• 順序数記法の大小関係

について扱ってきました。

 

ところで、順序数記法の中には

順序数記法をいくつか並べたやつ

もありましたね。

 

これ、せっかくなら

大きさ順に並べたやつ

を考えてみたくなりませんか？

 

たとえば、小学生に指示をだすときに

ぐちゃぐちゃに並んでいる小学生よりも

背の順とか、番号順で並んでいたほうが合理的な指示を出しやすそうです。

 

そんな感じで(?)、順序数記法を並べたやつも、

大きさ順に並んでいた方が考えやすそうです。

 

そこで定義するのが、標準形というものです。

ざっくり言うと、

左から大きい順に並んでるやつのこと

を指しているみたいですね！

 

この形になっているほうがいろいろやりやすいので、

標準形をについて考えていきます。

 

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Thm.4　到達可能定理

さて、ここまで準備すると、

この到達可能定理が証明できるそうです！

 

最初に、この定理が何を言っているのか......

 

まず、考えているのは

順序数記法の減少列についてです！

 

減少列というのは、高校数学に出てくるような数列の1種です。

後ろに行けば行くほど小さくなる数列、実数でいうと例えば

100、50、25、12.5、6.25........

みたいな感じのやつです。

 

そんな感じで、順序数記法を大きい順に並べたような数列を考えています。

今回は特に、同じ数字が2回出てこないものに限定して考えているようでした！

 

すると、

1番最初が有限なら、いつか0にたどり着く

というような定理だそうです！

（認識間違ってるかも？）

 

これのなにが凄いかというと、

スタートと0の間には、無限個の順序数記法があるのに

有限回先に進むだけで0に絶対たどり着ける！

ということらしいです。

 

スタートと0の間に無限個の順序数記法がある、というのは

スタートを a としてみると(w^0 < a を仮定します)、

0 < (w^0, w^0)< (w^0, w^0, w^0) <......<(w^0, w^0, w^0, w^0, ............)<......< a

みたいな理屈とのことでした。

 

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おわりに

順序数記法は、今まで見たことがないような数学の一面だったので、

かなり頭を使いながら聞いていました。

 

私自身正確に理解できている自信がないので

いろいろ間違っているかもしれないのですが、

なんとなく雰囲気だけでも伝わっていたらな～と思います。

 

特に、最後のあたりは数学の神秘だな～って。

 

それでは今日はこの辺で！さようなら～

 

追記

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