【東大理系数学】過去問における必須解法・手法の逆算分析～網羅系問題集の該当例題～（H20～22分）

　　

　東大理系数学の問題は、一筋縄では行かないと言われているが、それは、解答において、数種類の解法・手法が組み合わされて併存していることが大きな要因であると思う。

　このことから、過去問の解答というゴールから、必要となる解法・手法を、逆向きに、各年毎の設問について調べてみたい。

　その手順は、
１、模範解答をじっくり吟味する。
１、必要となる解法・手法を同定する。
１、網羅系と呼ばれる問題集で、とりあげられているかどうかを調べる。
１、その解法・手法を知っていることだけでそのまま解けるか、それとも、さらなる別な工夫等が必要となるかどうかを考える。

※当面は、確率、整数、極限等の証明問題等で、典型解法・手法が通用せず、個別的な考察によるもの、または、著しく難易度の高いものは、見送る。

注）略称
　１対１：１対１対応の演習（東京出版）
　青チャ：青チャート（数研出版）
　黒大数：大学への数学（研文書院）絶版

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★平成２０年
【第１問】
　座標平面の点（x,y）を移す移動をｆとする時、移動される点、直線が描く直線について
（１）移動直線の、x,yの位置の数列による表示
　　１対１　Ｂ　数列　12　p67
　　青チャ　Ｂ　数列　121　p185
　　黒大数　Ⅱ＆Ｂ　数列　B728　p337

（２）（１）で数列表示された直線により定まる領域の図示
　　～前半部分～
　　１対１　Ｂ　数列　10　p65
　　青チャ　Ｂ　数列　123、124　p188、189
　　黒大数　Ⅱ＆Ｂ　数列　B725　p334

　　～後半部分～
　　いずれも該当なし。
　　⇒自ら考える。

【第３問】
（１）正８面体を台に置いて、真上から見た図の描画
　いずれも該当なし。
　⇒自ら考える。

（２）正８面体の平行な面の重心同士を通る直線を軸に、回転させた時の立体の体積
※関係　１対１　Ⅲ　微積分編　積分法（体積・弧長）　11　p138
　他は、いずれも該当なし。

【第４問】
　放物線y＝x2と放物線上の２点及びその中点のy座標について
（１）２点の長さとその傾きでhを表す。
　　易問なので、略。

（２）２点の長さを固定した時の、hの最小値。
　　１対１　Ⅲ　微積分編　微分法とその応用　7　p42
　　青チャ　Ⅲ　微分法の応用　160、161　p258、259
　　黒大数　Ⅲ＆Ｃ　微分法の応用　B606、607、608　p226、227、228

【第６問】
　媒介変数表示された曲線が囲む面積
※関係　１対１　Ⅲ　微積分編　積分法（面積）　11　p114
　　青チャ　Ⅲ　積分法の応用　重要245　p388
　　黒大数　Ⅲ＆Ｃ　積分法の応用　B804　p317

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★平成２１年
【第４問】
（１）円柱の回転体（aをパラメータに含む）の、xyz空間における、x≧0内の共通部分の体積
　　１対１　Ⅲ　微積分編　積分法（体積・弧長）　11　p138
　　青チャ　Ⅲ　積分法　重要263　p404
　　黒大数　Ⅲ＆Ｃ　積分法の応用　B808　p321
（２）円柱の回転体（aをパラメータに含む）の、a→∞の極限値
　　１対１　Ⅲ　微積分編　積分法（体積・弧長）　11　p138
　　青チャ　Ⅲ　積分法　重要263　p404
　　黒大数　Ⅲ＆Ｃ　積分法の応用　B808　p321
　＋長方形の面積による近似式
　＋はさみうちの原理を用いて極限値を求める

【第５問】
（１）xの１次式のべき乗の不等式の証明
　　１対１　Ⅲ　微積分編　微分法とその応用　15　p50
　　青チャ　Ⅲ　微分法の応用　178　p282
　　黒大数　Ⅲ＆Ｃ　微分法の応用　B631　p248
（２）ある小数値のべき乗に関する不等式の証明
　式変形＋場合分け
　　１対１　Ⅲ　微積分編　微分法とその応用　15演習題（イ）（２）　p50
　　青チャ　なし
　　黒大数　なし

【第６問】
　三角形の内部の３点のベクトルについて、時刻ごとに直進させて
（１）内部の点の距離が≦１の時の、なす角をθとした時のsinθの不等式
　いずれも該当なし。
　⇒自ら考える。

（２）なす角を３つ定義した時の、２つのなす角の和の範囲
　いずれも該当なし。
　⇒自ら考える。

（３）ある時刻に内部の点の距離が≦１が成立した時、ある時刻Ｔに≦３が成立することの証明
　いずれも該当なし。
　⇒自ら考える。

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★平成２２年（2010年）
【第１問】
　（１）回転体の体積の考察

　（２）上記体積（多変数関数）の最大・最小
　　～前半部分～
　　１対１　Ⅰ　２次関数　14　p47　予選決勝法（１文字固定法）
　　青チャ　Ⅰ　２次関数　重要83　p129　予選決勝法（１文字固定法）
　　黒大数　Ⅰ　２次関数・２次不等式　B319#　p117　予選決勝法（１文字固定法）

　　～後半部分～
　　１対１　Ⅱ　微分法とその応用　２　p115
　　青チャ　Ⅱ　微分法　206　p304
　　黒大数　Ⅱ＆Ｂ　微分・積分　B618　p260

【第２問】
　（１）定積分と不等式
　　１対１　Ⅲ　曲線・複素数編　数Ⅲ総合演習　９（２）　p84
　　１対１　Ⅲ　微積分編　積分法（数式）　１（２）　p74
　　青チャ　Ⅲ　積分法　重要232　p361
　　青チャ　Ⅲ　積分法　基本204　p320
　　黒大数　Ⅲ＆Ｃ　積分法の応用　B831　p341
　　黒大数　Ⅲ＆Ｃ　積分法の基礎　B703（１）（２）　p281

　（２）式変形（定積分、数列）の考察

【第４問】
　（１）座標平面上の座標から三角形の面積を求める。
　　１対１　Ⅱ　座標　５　p84
　　青チャ　Ⅱ　図形と方程式　87　検討　p131
　　黒大数　該当なし

　（２）曲線（１次関数と２次無理関数の和）とy=xとで囲まれる図形の面積（定積分）
　　平面図形としての面積の相同に関する考察＋
　　１対１　Ⅲ　微積分編　積分法（面積）　６　p109
　　青チャ　Ⅲ　積分法　240　p375
　　黒大数　該当なし

【第６問】
　（１）四面体の頂点から１面に下した垂線の足のベクトル
　　間接的に関係
　　１対１　Ｂ　空間のベクトル　３　演習題（２）　p36
　　青チャ　Ｂ　空間のベクトル　66　p102
　　黒大数　Ⅱ＆Ｂ　ベクトル　B826　p387

　（２）四面体の平面による切り口の面積（１辺の内分比 tがパラメータ値）
　～前半～
　　１対１　Ｂ　平面のベクトル　１　p8
　　青チャ　Ｂ　平面上のベクトル　36　p60
　　黒大数　Ⅱ＆Ｂ　ベクトル　B807　p370
　～後半～
　　四面体の切り口の面積をパラメータ値により場合分け
　　（三角形の相似比を用いて）

　（３）（２）の面積の最大値
　　間接的に関係
　　１対１　Ⅰ　２次関数　７　p40
　　青チャ　Ⅰ　２次関数　74　p118
　　黒大数　Ⅰ　２次関数と２次不等式　B311　p109

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