メルセンヌ数に関する数列の未解決問題

数学者カタランの肖像

　先日私は以下のような事実を発見したのですが、もうその事実は100年以上も前に大数学者、カタラン様に見つけ出されていました。無念。しかしながら、私の解くべき問題は、他にも山ほどあるわけで、日々精進していきたいと思います。

メルセンヌ数に関する数列の未解決問題
2007/09/26
報告書作成　五十嵐真人

１、未解決問題（カタランの数列。筆者がカタランとは独立に発見。←言い訳だ）

メルセンヌ数に関するある数列｛a(n)｝について考える。

数列｛a(n)｝の漸化式は、a(1)=2，a(n+1)=2^a(n)-1　である。

従って問題の数列は初項 a(1)から書き並べると、

a(1)=2
a(2)=2^a(1)-1=2^2-1=3
a(3)=2^a(2)-1=2^3-1=7
a(4)=2^a(3)-1=2^7-1=127
a(5)=2^a(4)-1=2^127-1=170141183460469231731687303715884105727

・・・・・・・・・・・・・・・・と永遠に続く。

ここで読者はこの何の変哲も無い数列にどんな驚くべき事実が隠されているかお判りになるだろうか？

驚くべき事実：この第１項から第５項は素数である。

この驚くべき事実に着目すると、第６項目も素数であるかもしれないという何の根拠も無い仮説が思い浮かぶ。

よってここで問題である。

a(6)は素数か？もし素数で無い（合成数）ならばその素因数分解を完全に行え。

２、考察

（０）メルセンヌ素数とはメルセンヌ数 2^n-1のうちで素数のものである。
（１）a(5)は39桁の素数である。
（２）現在見つかっている最大のメルセンヌ素数はn= 32582657（8桁）である。
（３）従って、本報告書の未解決問題のメルセンヌ数a(6)はｎが39桁の数というのは現在　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　の世界中のコンピュータ情報処理技術力を結集してもn=8桁が最高なのにn=39桁というのは空前絶後の値なのである。
（４）ちなみにa(6)の値は約4.125E+(5.122E+ 37 )である。すなわち約5.122E+ 37桁の数である。
（５）この数が素数であったら、もちろん、もしも合成数であったとしてもその素因数は今まで知られている最大の素数である可能性は高いし、大発見である。
（６）これは人間の尊厳を問う問題である。計算だけならコンピュータにもできる。しかしながら、理論の構築によって、膨大な計算なしに目的の結果を得るアルゴリズムを発見できると私は信じている。もしそれができなければ人間は無能に計算をコンピュータに任せ膨大な時間何もせずその結果がでるのを待つしかないのである。（まあこれは極論ですが。）