ハール・ウェーブレット（C74%）

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sys-s.pdf に「C74%: ハール・ウェーブレット」を追加しました．内容は毎週金沢工業大学内で行われている武部幹先生のゼミで教えていただいたことの最も初歩的な部分を要約したものです．皆様に厚く御礼申し上げます．

上図の表の意味が分かればウェーブレットに関する基礎事項の半分は理解できたと考えていいと思います．
補足：(1) 2011-08-02 の「ＬＵ分解と特異値分解」もゼミの逆問題に関する話を理解するための特異値分解の復習が契機です．
(2) ウェーブレットに関してはいくつかの参考書・論文を教えて頂きました．内容面でのお薦めは下記の [1] ですが，個人で購入するには少々高価なのが難です．なお，ゼミでは使いませんでしたが，[2] は魅力的な名著です．
(3) ドベシィのウェーブレットは割愛して，ハール・ウェーブレット限定で多重解像度解析やフィルタバンクの説明文を増そうとも思ったのですが要約し切れませんでした．完全再構成可能な二分割フィルタバンクについては [3] の 6.4 節等をご参照下さい．
(4) コンパクト・サポートに拘る（？）理由を知るために，Web上で「ウェーブレット コンパクト サポート 利点」を検索しましたが，よく分かりませんでした．
(5) ウェーブレットの波形が対称であることの意義は言及できませんでした．Webで「直線（線形）位相フィルタ」を検索して説明を参考にしてください．

素人の私見：コンパクト・サポートであれば，ウェーブレットの係数をいろいろ処理してもサポート外に滲みませんが，このことの利点がよく分かりません．周波数分割多重した伝送路での帯域制限は他人に通話が漏れないという意味で非常に重要ですが，コンパクト・サポートは周波数領域でなく時間（空間）領域版です --- 時間（空間）領域の保護は難しい理論が無くても原始的な方法で容易に実現できます．正弦波は線形時不変なシステムの固有関数であり，フーリエ変換は積分変換の一例という以上の意味を持っています．窓付きのフーリエ変換との対応を考えたときサポートがコンパクトであることの利点は無く，数学者の興味で発展してきたような気がします （超蛇足：「面白いから考える」が最高）．
※ サブバンド符号化用 FIR フィルタのインパルス応答が０でない標本値は有限個であるが，標本化関数で補間した連続波形の０でない値をとる箇所は無限に延びている．

[1] 図説 ウェーブレット変換ハンドブック
  http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-22148-0/
  ISBN-13: 978-4254221480
[2] ウェーブレット入門 －数学的道具の物語－
  http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-22146-6/
  ISBN978-4-254-22146-6 (紹介メモ http://researchmap.jp/jox4h14ab-529/#_529)
[3] ディジタル信号処理
  http://pub.maruzen.co.jp/book_magazine/book_data/search/4621073656.html
  ISBN: 978-4-621-07365-0
[4] 短時間フーリエ変換と連続ウェーブレット変換(井澤)
  http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/InfSys1/basic/chap11/index.htm
[5] 離散ウェーブレット変換について(井澤)
  http://laputa.cs.shinshu-u.ac.jp/~yizawa/InfSys1/advanced/daubechies/index.htm