関数とは

ぼんさいノート一覧

math.pdf [#15] に関連する「関数」，「関数 写像」の Google 検索で

[1] 関数 (数学) - Wikipedia
    http://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
[2] PDF] 第1章 関数とは何か？
    http://www16.ocn.ne.jp/~suuri/lecture-seniorbasic/lecturenotes-1/lecture-basic1-6-1.pdf
[2] [PDF] 2．写像と関数
    http://www.econ.kyoto-u.ac.jp/~iwaki/BasMath2.pdf

等が見つかりました（「関数 数学」としてもプログラミング関係のものが圧倒的に多い）．

x が写像 f を用いて y = f(x) に変換されるとき x を独立変数，f を関数，y を従属変数といいます．関数 f とは「x を入力したとき f(x) を出力する機械」のようなものです．例えば f(x) = √(x) ( x ≧ 0 ）である f は「入力の平方根を出力する機械」，g(x) = x² である ｇ は「入力の２乗を出力する機械」と考えていいでしょう．この場合，x = g(f(x)) なので g = f^-1 とかき，g を f の逆関数といいます．

単に「関数 f(x)」という場合「x を f(x) に変換する関数 f」を意味します．y = √(x) のとき x = y² ですが，これを「 √(x) の逆関数はx² である」というのは（独立変数を x として）「x を√(x) に変換する関数の逆関数は x を x² に変換する関数である」という意味だからです．

f(x) と f の使い分けが好ましい例を次に示します．

   g(x) = f(x+1) - f(x)

とします．g は f に依存しますが g(x) = h(f(x)) のような合成関数では表わせません．g(a) を計算するには f(a) でなく f が必要です．関数 f を関数 ⊿f に変換する写像（作用素） ⊿ を

   ⊿f(x) = f(x+1) - f(x)

で定義すると，g = ⊿f と表現でき，g(a) = ⊿f(a) = f(a+1) - f(a) となります．

補足： 関数 f の x における値（写像 f で x に対応させた値）がf(x) ですが，「関数 f(x)」という表現を否定しているわけではありません．どの分野でもよく使う表現は簡略化されます．なお，数学では上記の 「に変換する」 は通常 「に対応させる」 と表現します．