晴彷雨読

晴れの日は、さまよい、雨の日は、お勉強

◇2粒子のエネルギーと運動量(ローレンツ不変量)

2018年08月21日 | ◇お勉強
2粒子の運動を相対論的に考える

◆ 質量(光速の2乗倍) @m1 , @m2 エネルギー E1,E2 運動量(光速倍) [pc1] , [pc2]

個々の粒子に対する次の量はローレンツ不変量(別の慣性系で観測しても変わらない量)である
 E1^2-[pc1]^2 E2^2-[pc2]^2

では、その和 (E1+E2)^2-([pc1]+[pc2])^2 はローレンツ不変量になるのであろうか。

当たり前のような気もするけど、必ずしも自明ではないと思った。ちゃんと説明してある資料は見つからなかったので、考えてみた。結果、

 E1*E2-[pc1]*[pc2] がローレンツ不変量になり、
 (E1+E2)^2-([pc1]+[pc2])^2 もローレンツ不変量になることがわかった

※ 個々の粒子では E1^2-[pc1]^2=@m1^2 となるが、
一般に (E1+E2)^2-([pc1]+[pc2])^2≠(@m1+@m2)^2

※ エネルギー保存、運動量保存が成り立っていても、それは時間に依る変化がないという意味であって、
ローレンツ不変量(別の慣性系で観測しても変わらない量)ではない。

お勉強しよう 2粒子のエネルギーと運動量(ローレンツ不変量)
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◇等速直線運動をする点電荷が作る電磁場

2018年08月16日 | ◇お勉強
動いている点電荷は、電場と磁場を作る。ローレンツ変換を使えば、簡単に求めることができる。ボルダリングで言えば、[赤5級]ぐらい。

◆ 点電荷 q x軸上を等速直線運動 速さ(対光速比) b
観測点 (x,y,0) 点電荷が原点を通過しているときの電場 [E] 磁場(光速倍) [cB]
クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)

■ [E]=[x y 0]*ke*q*Γ(b)/[Γ(b)^2*x^2+y^2]^(3/2)
 [cB]=[zu]*ke*q*Γ(b)*b*y/[Γ(b)^2*x^2+y^2]^(3/2)

前方 xは正 y=0
 [E]=[xu]*ke*(q/x^2)/Γ(b)^2 [cB]=0

真横 x=0 yは正
 [E]=[yu]*ke*(q/y^2)*Γ(b) [cB]=[zu]*ke*(q/y^2)*Γ(b)*b

お勉強しよう 等速直線運動をする点電荷が作る電磁場

他の電荷に働く力を考えると、さらにおもしろい。
お勉強しよう 並走する2つの点電荷の間に働く力
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◇ curl rot 回転 循環

2018年08月12日 | ◇お勉強
curl は、わかりにくい。イメージがつかめないまま、無理やり計算してるだけだから、結局、本質が見えてこない、つかめない。
次の2つの式を、じーとかみしめると、少しは curl のイメージがつかめると思う。
◇ ベクトル [] 微分 ;

① [curl[Ax(x,y) Ay(x,y) 0]]=[zu]*(Ay;x-Ax;y)

円柱座標 (h,a,z)_C 座標単位ベクトル [hu],[au],[zu] h=root(x^2+y^2)
② [curl([zu]*Az(h))]=-[au]*(Az;h)


お勉強しよう いろいろな curl 場
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◇電磁誘導

2018年08月08日 | ◇お勉強
磁場が変化すると、電場が生まれる。とてもおもしろい所なのに、原理的にわかりやすく説明してある資料は少ない。高校時代にも、公式を無理やり覚えただけで、本質がわかってなかった。
結局、次の式になるのだが…。

◇ 時間微分 '
◆ 変化する磁場 [B] [B]'≠0 生まれた電場 [E]
■ 任意の閉曲線(静止していて、形や大きさも変わらない)に対して、

 ${[E]*[ds]}[閉曲線]=-($${[B]*[dS]}[閉曲線内])'

お勉強しよう 電磁誘導
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◇正方形電流のベクトルポテンシャルと磁場

2018年08月01日 | ◇お勉強
xy平面に正方形電流 電流 I 1辺 L 中心:原点 各辺は、x軸かy軸に平行
z軸上 z>0 の磁場の大きさ B ? ※ 方向はz軸方向
クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)

線分電荷の電位と電場の結果を利用して、

 B=2*(ke*I*L^2/c^2)/[(z^2+L^2/4)*root(z^2+L^2/2)]

L が非常に小さいとき B=2*(ke*I*L^2/c^2)/z^3

お勉強しよう 線分電荷の電位と電場
正方形電流のベクトルポテンシャルと磁場

なんだかんだ、この問題に1か月ぐらい取り組んでいた。まず、ベクトルポテンシャルがわかってなかった。
電位の結果を、ベクトルポテンシャルにどのように結び付けたらいいのかもわかってなかった。
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◇線分電荷の電位と電場-2-

2018年07月31日 | ◇お勉強
y軸上に長さ L の線分電荷 中心:原点 電荷(線)密度 λ=一定
観測点:(L/2,0,z) 電位 φ(L/2,0,z) 電場 [E(L/2,0,z)]=[Ex 0 Ez]
クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)

 φ/(ke*λ)=2*ln[root(z^2+L^2/2)+L/2]-ln(z^2+L^2/4)

 E/(ke*λ)=L/[root(z^2+L^2/4)*root(z^2+L^2/2)]

 Ex/(ke*λ)=(L^2/2)/[(z^2+L^2/4)*root(z^2+L^2/2)]

 Ez/(ke*λ)=L*z/[(z^2+L^2/4)*root(z^2+L^2/2)]

お勉強しよう 線分電荷の電位と電場
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◇線分電荷の電位と電場

2018年07月30日 | ◇お勉強
有限な長さの直線電荷(線分電荷)が、その垂直二等分線上に作る電場については、すっきりとした資料が見当たらなかったので、自分で考えてみた。

線分電荷 長さ 2*L 電荷(線)密度 λ=一定
観測点:線分電荷の垂直二等分線上で、距離 h 電位 φ(h) 電場の大きさ Eh(h)
クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0)

 φ(h)=2*ke*λ*{ln[root(h^2+L^2)+L]-ln(h)}

 E(h)=(2*ke*λ/h)/root(1+h^2/L^2)

よりすっきりとした形にするために、何回も計算し直した。

お勉強しよう 線分電荷の電位と電場
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◇等速直線運動をする点電荷が真横に作る電磁場

2018年07月13日 | ◇お勉強
等速直線運動をする点電荷が真横に作る電磁場は、ローレンツ変換を使えば簡単に求めることができるが、別の方法、ヘビサイド・ファインマン表記から求めてみた。
ベクトル [] 外積 #

ヘビサイド・ファインマン表記
時刻 T における電荷の影響が、速さ c で伝わって、時間 Δt かかって、観測時刻 t に観測点に届くとする。{この考え方が素晴らしい!原理的だ!}
時刻Tにおいて、観測点からみた点電荷の位置 [R] R=|R| [Ru]=[R]/R 
クーロン力定数 ke=1/(4Pi*ε0) 時間微分 ' 電場 [E] 磁場(光速倍) [cB]

 [E]/(-ke*q)=[Ru]/R^2+([Ru]/R^2)'*(R/c)+[Ru]''/c^2
 [cB]=-[Ru]#[E]

[Ru] を使うと、以上のように美しい式なのであるが、それを [R] と R で表すと、ややこしい。

 [E]/(-ke*q)
=[R]*[1-3*R'/c+2*(R')^2/c^2-R*R''/c^2]/R^3
+[R]'*(1-2*R'/c)/(c*R^2)
+[R]''/(c^2*R)

電荷が観測時刻に観測点の真横にくるときの、[R],[R]',[R]'',R,R',R'' の値を求めて、それを代入すれば求めることができる。

お勉強しよう 動く点電荷が作る電磁場
お勉強しよう 等速直線運動をする点電荷が真横に作る電磁場

7年前に「ファイマン物理学」の本で見たときから、いつか解いてやろうと思っていた。ネットで検索しても見つからないので、独力で解いた。ひと月ぐらいかかった。2階微分の理解が不足していた。
今回、解けてとてもうれしい。ボルダリングで言えば、2級ぐらい。
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◇合成関数の微分係数

2018年07月06日 | ◇お勉強
合成関数の導関数は、基本的な公式である。

xの関数 y=f(x) t の関数 x=g(t) 合成関数 y=f(g(t))
 dy/dt=(dy/dx)*(dx/dt)

合成関数の微分係数はどうなるのだろう。

yの t=t0 における微分係数 {dy/dt t=t0}
xの t=t0 における微分係数 {dx/dt t=t0}
yの x=g(t0) における微分係数 {dy/dx x=g(t0)}

 {dy/dt t=t0}={dy/dx x=g(t0)}*{dx/dt t=t0}

以上にようになるらしい。当たり前なのかなあ。知らなかった。

{計算例} y=3*x^2+4*x+1 x=t^2 y=3*t^4+4*t^2+1
yの t=10 における微分係数 {dy/dt t=10}
xの t=10 における微分係数 {dx/dt t=10}
yの x=10^2=100 における微分係数 {dy/dx x=100}

 dy/dt=12*t^3+8*t t=10 を代入して {dy/dt t=10}=12*10^3+8*10=12080

 dx/dt=2*t t=10 を代入して {dx/dt t=10}=2*10=20
 dy/dx=6*x+4 x=10^2=100 を代入して {dy/dx x=100}=6*100+4=604
 {dy/dt t=10}=20*604=12080

お勉強しよう 合成関数の微分係数
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◇等速直線運動をする点電荷が作る電磁場

2018年07月05日 | ◇お勉強
等速直線運動をする点電荷が作る電磁場は、ローレンツ変換を使えば簡単に求める事ができた。
今回は、ヘビサイド・ファインマン表記を使って求めてみた。「ファインマン物理学 Ⅱ」の第3章に以下の式が出ていて、その式を使って点電荷が作る電磁場を求めてみたいと、ずーと思っていた。
観測時刻における電磁場は、その時刻における点電荷の位置や運動によるものではなく、過去の時刻における位置や運動の影響が、時間がかかって観測点に届くという考え方が、素晴らしいと思ったからだ。

ベクトル [] 時間微分 '

 [E]/(-ke*q)=[Ru]/R^2+(R/c)*([Ru]/R^2)'+[Ru]''/c^2

今回、点電荷の前方と後方に作る電磁場を求めた。観測時刻、過去の時刻、そのあたりの扱いがややこしい。
本当は、横方向の電磁場を求めたいのだが、計算がややこしくて、頓挫している。

お勉強しよう 等速直線運動をする点電荷が作る電磁場
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