大学への数学（４）

問題101
１辺の長さが60mの正方形の広場がある．この広場に10本の照明灯を立てるとき，
どんな立て方をしても，10本のうち少なくとも2本は，その間隔が30m以下になる
ことをしめせ．

追記　2019.01.21

このような証明は不正解です。

９本の照明灯を30ｍ以上の間隔で立てるには下図のようにするしかない。
そうすると、残りの1本を立てると、2本間の距離は30m以下になる。

＞９本の照明灯を30ｍ以上の間隔で立てるには下図のようにするしかない。
は、自明ではなく、その証明は本問よりもはるかに難しい。

追記　2019.01.29

解1

正方形の広場を1辺の長さ20ｍの9つの小さい正方形に分割する．

 

10本の照明灯を立てるには，
小広場の少なくとも１つに2本以上の照明灯を立てなければならない．

1辺の長さ20mの広場に立てられる2本の照明灯の間隔は，
小広場の対角線の長さ20√2＝28..2…を超えることはない．
20√２＜30であるから題意は証明された．