今日はお酒が入らないうちに続きを書こうと思う。
前講の『順列』と『組み合わせ』について、もう一度復習しよう。
０から９までの数字を書いたカードから三枚取り出して３桁の数字を作るとき、一枚づつ取り上げて３桁の数字をつくってはもとに戻して、同じことを繰り返すとき、どのような数ができるかというと、１０＊９＊８＝７２０種類（通り）の３桁の数字ができます。（最初に０を引いてしまったとき３桁と言うのは憚られますがこの場合、便宜３桁ということにしてください）・・・・・（あ）
ところで、その数の構成要素が１、２、３であった場合に、この３個の数から、出来上がる数というは、１２３、 １３２、 ２１３、 ２３１、 ３１２、 ３２１ と６個の数となります。この計算を表現するのに『三個の数字から構成される場合の数、あるいは順列』などと言います。計算式は、３＊２＊１＝６ということになりますが、『３の階乗とか、３！、３Ｐ３』と表現します。・・・・（い）
つぎに、『組み合わせ』とはどういうことかというと、『順列』から『順序を剥奪した場合の数』を言います。例えば（い）の場合から順序を剥奪するとは、３＊２＊１／３＊２＊１＝１となり、１、 ２、 ３からなる数の『組み合わせ』は当然１通りしかありません。・・・このぐらいのことを言うと「人を馬鹿にして！」という声が聞こえてきますが、それなら、（あ）の場合の７２０通りの『組み合わせ』はいくつあるのだ？聞き返すと、案外困ってしまう学生も多いのだから、基本を学ぶときには謙虚でなければなりません。
０から９までの十個の数字から３個を取り出してできる『組み合わせ』はいくつあるか（ただし、０から始まる数も便宜３桁の数とする）。
１０＊９＊８／３＊２＊１＝７２０／６＝１２０通り。これが答です。
数学ではＮ個の中からＲ個を取り出す『組み合わせ』という表現をｎＣｒという記号で表します。
『順列』『組み合わせ』実践編：
巷には、射幸心を煽るものとして、『ロト６』という富くじがあるのだが、知恵も付いたことだし、それについて考察してみよう。
１から４３までの自然数の中から６個の数字を取り出して、抽選で出た数字と全て一致すれば目出度く一等賞、場合によっては一口２００円が４億になることもある。まさに話は夢なのだ！。
４３の数字の中から、６個を取り出すときの場合の数は、４３＊４２＊４１＊４０＊３９＊３８＝４３８９４４６８８０通りある。数字の並び順は問題としないのであるから、組み合わせの計算をすることになります。・・・・例によって６個の数字から並び順を剥奪するのだから、この天文学的な数を、６＊５＊４＊３＊２＊１＝７２０で割ると、４３８９４４６８８０／７２０＝６０９６４５４という数になります。この６０９６４５４通りのうちの１個の場合が当たりくじということになるのだ。夢は大きく可能性は極めて少ない。
二等の当選番号の当て方が些かフルっているので、頭が混乱するのであるが、主催者側の説明によれば、一等の番号のうちの５個とボーナス数字一個が一致すればそれが二等だという。一等の６個の数字から５個取り出す組み合わせが６＊５＊４＊３＊２／５＊４＊３＊２＊１＝６通りある。６通りに対して今まで選ばれ無かった数字の数（３７）を掛け合わせた数ぶんだけの組み合わせが生じることになる。この場合、全体の場合の数も３７倍しなければならない。６＊３７／６０９６４５４＊３７＝６／６０９６４５４となり、結果としては一等の６倍の確率となる。
三等の場合の計算は、６Ｃ５＊３７／６０９６４５４＝２２２／６０９６４５４から、二等の当たり数６を引いた、２１６／６０９６４５４が当たりくじの理論上の当選確率である。
同様にして、４等、５等の確率を検証してみるのも一興であろう。
前講の『順列』と『組み合わせ』について、もう一度復習しよう。
０から９までの数字を書いたカードから三枚取り出して３桁の数字を作るとき、一枚づつ取り上げて３桁の数字をつくってはもとに戻して、同じことを繰り返すとき、どのような数ができるかというと、１０＊９＊８＝７２０種類（通り）の３桁の数字ができます。（最初に０を引いてしまったとき３桁と言うのは憚られますがこの場合、便宜３桁ということにしてください）・・・・・（あ）
ところで、その数の構成要素が１、２、３であった場合に、この３個の数から、出来上がる数というは、１２３、 １３２、 ２１３、 ２３１、 ３１２、 ３２１ と６個の数となります。この計算を表現するのに『三個の数字から構成される場合の数、あるいは順列』などと言います。計算式は、３＊２＊１＝６ということになりますが、『３の階乗とか、３！、３Ｐ３』と表現します。・・・・（い）
つぎに、『組み合わせ』とはどういうことかというと、『順列』から『順序を剥奪した場合の数』を言います。例えば（い）の場合から順序を剥奪するとは、３＊２＊１／３＊２＊１＝１となり、１、 ２、 ３からなる数の『組み合わせ』は当然１通りしかありません。・・・このぐらいのことを言うと「人を馬鹿にして！」という声が聞こえてきますが、それなら、（あ）の場合の７２０通りの『組み合わせ』はいくつあるのだ？聞き返すと、案外困ってしまう学生も多いのだから、基本を学ぶときには謙虚でなければなりません。
０から９までの十個の数字から３個を取り出してできる『組み合わせ』はいくつあるか（ただし、０から始まる数も便宜３桁の数とする）。
１０＊９＊８／３＊２＊１＝７２０／６＝１２０通り。これが答です。
数学ではＮ個の中からＲ個を取り出す『組み合わせ』という表現をｎＣｒという記号で表します。
『順列』『組み合わせ』実践編：
巷には、射幸心を煽るものとして、『ロト６』という富くじがあるのだが、知恵も付いたことだし、それについて考察してみよう。
１から４３までの自然数の中から６個の数字を取り出して、抽選で出た数字と全て一致すれば目出度く一等賞、場合によっては一口２００円が４億になることもある。まさに話は夢なのだ！。
４３の数字の中から、６個を取り出すときの場合の数は、４３＊４２＊４１＊４０＊３９＊３８＝４３８９４４６８８０通りある。数字の並び順は問題としないのであるから、組み合わせの計算をすることになります。・・・・例によって６個の数字から並び順を剥奪するのだから、この天文学的な数を、６＊５＊４＊３＊２＊１＝７２０で割ると、４３８９４４６８８０／７２０＝６０９６４５４という数になります。この６０９６４５４通りのうちの１個の場合が当たりくじということになるのだ。夢は大きく可能性は極めて少ない。
二等の当選番号の当て方が些かフルっているので、頭が混乱するのであるが、主催者側の説明によれば、一等の番号のうちの５個とボーナス数字一個が一致すればそれが二等だという。一等の６個の数字から５個取り出す組み合わせが６＊５＊４＊３＊２／５＊４＊３＊２＊１＝６通りある。６通りに対して今まで選ばれ無かった数字の数（３７）を掛け合わせた数ぶんだけの組み合わせが生じることになる。この場合、全体の場合の数も３７倍しなければならない。６＊３７／６０９６４５４＊３７＝６／６０９６４５４となり、結果としては一等の６倍の確率となる。
三等の場合の計算は、６Ｃ５＊３７／６０９６４５４＝２２２／６０９６４５４から、二等の当たり数６を引いた、２１６／６０９６４５４が当たりくじの理論上の当選確率である。
同様にして、４等、５等の確率を検証してみるのも一興であろう。