算額（その2028）

算額（その2028）

(8) 兵庫県山崎町門前 八幡神社 明治3年(1870)
近畿数学史学会：近畿の算額「数学の絵馬を訪ねて」，平成4年5月16日 初版第一刷，大阪教育図書株式会社，大阪市.
キーワード：円8個，外円，弦2本

長方形の中に斜線2本をひき，黒円 2 個と赤円 1 個を容れる。
長方形の長辺と短辺の長さが 6 寸，4 寸，赤円の直径が 3 寸のとき，黒円の直径はいかほどか。

注：条件が 3 つ与えられているが，赤円の直径は黒円の直径を求めるのには何の役割も持たない。長方形の長辺と短辺の長さだけが与えられれば，黒円の直径も，赤円の直径も別々に求めることができる。

方形の長辺と短辺の長さを 2a, b
黒円の半径と中心座標を r1, (a - r1, r1)
赤円の半径と中心座標を r2, (0, b - r2)
とおき，以下の方程式を（別々に）解く。

1.　黒円の直径

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms a::positive, b::positive,
     r1::positive, r2::positive
eq1 = a + b - sqrt(a^2 + b^2) - 2r1
res1 = solve(eq1, r1)[1]
res1 |> println
res1(a => 6/2, b => 4) |> println

   a/2 + b/2 - sqrt(a^2 + b^2)/2
   1.00000000000000

長方形の長辺と短辺の長さが 6 寸，4 寸 のとき，黒円の直径は 2 寸である。

2.　赤円の直径

赤円の直径は「問」で与えられているが，長方形の長辺と短辺の長さから計算できる。

eq2 = r2/(b - r2) - a/sqrt(a^2 + b^2)
res2 = solve(eq2, r2)[1]
res2 |> println
res2(a => 6/2, b => 4) |> println

   a*b/(a + sqrt(a^2 + b^2))
   1.50000000000000

長方形の長辺と短辺の長さが 6 寸，4 寸 のとき，赤円の直径は（「問」で述べられている通り） 3 寸である。

function draw(a, b, more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   r1 = a/2 + b/2 - sqrt(a^2 + b^2)/2
   r2 = a*b/(a + sqrt(a^2 + b^2))
   @printf("長方形の長辺と短辺の長さが %g，%g のとき，黒円の直径は %g，赤円の直径は %g である。\n", 2a, b, 2r1, 2r2)
   plot([a, a, -a, -a, a], [0, b, b, 0, 0], color=:green, lw=0.5)
   circle2(a - r1, r1, r1, :black)
   circle(0, b - r2, r2)
   plot!([-a, 0, a], [b, 0, b], color=:magenta, lw=0.5)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       vline!([0], color=:gray80, lw=0.5)
       point(a - r1, r1, "黒円:r1,(a-r1,r1)", :black, :center, delta=-delta)
       point(0, b - r2, "赤円:r2,(0,b-r2)", :red, :center, delta=-delta)
       point(a, b, "(a,b)", :green, :right, :bottom, delta=delta)
   end
end;

draw(6/2, 4, true)