算額（その589）

算額（その589）

長崎市 鎮西大社諏訪神社 明治20年(1887)
米光丁: 長崎県の和算の概説
http://hyonemitsu.web.fc2.com/Nagasakiwasan.pdf

問題 3. 外円内に甲円，乙円，丙円を入れる。甲円，乙円の直径が 20 寸，8 寸のとき，丙円の直径はいかほどか。

問では，外円内にある三角形が直角三角形であることは言及されていない。しかし答は直角三角形でなければ導けないので，ここでも直角三角形と仮定して答えを求める。直角三角形であるならば，斜辺は外円の中心を通る。

外円の半径と中心座標を R, (0, 0);  R = 2r1
甲円の半径と中心座標を r1, (x1, y1)
乙円の半径と中心座標を r2, (0, r2 - R)
丙円の半径と中心座標を r3, (r3 - R, 0)
とおき，以下の連立方程式を解く。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms R::positive, r1::positive, r2::positive, r3::positive, x1::positive, y1::positive

R = 2r1
eq1 = 4*R^2 - ((2R - 4r2)^2 + (2R - 4r3)^2)
eq3 = x1^2 + y1^2 - (R - r1)^2
eq4 = y1/x1 * (2r2 - R)/(R - 2r3) + 1
res = solve([eq1, eq3, eq4], (r3, x1, y1))

   2-element Vector{Tuple{Sym, Sym, Sym}}:
    ((r1^3 + r1^2*sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2) - 2*r1^2*r2 - 2*r1*r2^(3/2)*sqrt(2*r1 - r2) + r1*r2^2 + r2^(5/2)*sqrt(2*r1 - r2))/(r1 - r2)^2, -r1 + r2, sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2))
    (r1 - sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2), r1 - r2, sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2))

2 組の解が得られるが，2番目のものが適解である。

丙円の半径は r1 - sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2)

甲円，乙円の直径が 20 寸，8 寸のとき，丙円の直径は 4 寸である。

(r1, r2) = (20, 8) .// 2
2(r1 - sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2))

   4.0

ちなみに，x1 = 6;  y1 = 8。

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (r1, r2) = (20, 8) .// 2
   (r3, x1, y1) = (r1 - sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2), r1 - r2, sqrt(r2)*sqrt(2*r1 - r2))
   R = 2r1
   @printf("丙円の直径 = %g;  R = %g; r1 = %g;  r2 = %g;  r3 = %g; x1 = %g;  y1 = %g\n", 2r3, R, r1, r2, r3, x1, y1)
   plot([2r3 - R, R - 2r3, 2r3 - R, 2r3 - R], [2r2 - R, 2r2 - R, R - 2r2, 2r2 - R], color=:orange, lw=0.5)
   circle(0, 0, R)
   circle(x1, y1, r1, :magenta)
   circle(0, r2 - R, r2, :blue)
   circle(r3 - R, 0, r3, :green)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /3  # size[2] * fontsize * 2
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       point(x1, y1, "甲円:r1,(x1,y1)", :magenta, :center, delta=-delta/2)
       point(0, r2 - R, "  乙円:r2,(0,r2-R)", :blue, :left, :vcenter)
       point(r3 - R, 0, "    丙円:r3,(r3-R,0)", :green, :left, :bottom, delta=delta/2)
       point(2r3 - R, R - 2r2, "  (2r3-R,R-2r2)", :black, :left, :vcenter)
       
   end
end;