算額（その408）

算額（その408）

千葉県成田市 成田山新勝寺 明治30年
https://toyo.repo.nii.ac.jp/?action=repository_action_common_download&item_id=2534&item_no=1&attribute_id=18&file_no=1

三角形内に界斜を引き，2 区分された領域に等円を入れる。中斜，小斜，界斜それぞれが 11 寸，6 寸，6 寸のとき，大斜はいかほどか。

数値が与えれて，求めるものは違うが，算額（その406），算額（その407）と同じである。

大斜，中斜，小斜，界斜を変数名として，
等円の半径と中心座標を r, (x1, r), (x2, r)
三角形の頂点座標を (x, y)
界斜と大斜の交点座標を (a, 0) として，以下の連立方程式を立て，nlsolve() により数値解を求める。

include("julia-source.txt");

using SymPy

@syms r::positive, a::positive, x::positive, y::positive, x1::positive,
     x2::positive, 大斜::positive, 中斜::positive, 小斜::positive, 界斜::positive;

eq1 = (界斜 + 中斜 + a)r + (界斜 + 小斜 + 大斜 - a)r - 大斜*y
eq2 = x^2 + y^2 - 中斜^2
eq3 = (大斜 - x)^2 + y^2 - 小斜^2
eq4 = distance(a, 0, x, y, x1, r) - r^2
eq5 = distance(a, 0, x, y, x2, r) - r^2
eq6 = distance(0, 0, x, y, x1, r) - r^2
eq7 = distance(大斜, 0, x, y, x2, r) - r^2;
# res = solve([eq1, eq2, eq3, eq4, eq5, eq6, eq7])

using NLsolve

function nls(func, params...; ini = [0.0])
   if typeof(ini) <: Number
       r = nlsolve((vout, vin) -> vout[1] = func(vin[1], params..., [ini]), ftol=big"1e-40")
       v = r.zero[1]
   else
       r = nlsolve((vout, vin)->vout .= func(vin, params...), ini, ftol=big"1e-40")
       v = r.zero
   end
   return v, r.f_converged
end;

function H(u)
   (大斜, r, a, x, y, x1, x2) = u
   return [
       r*(a + 中斜 + 界斜) + r*(-a + 大斜 + 小斜 + 界斜) - y*大斜,  # eq1
       x^2 + y^2 - 中斜^2,  # eq2
       y^2 - 小斜^2 + (-x + 大斜)^2,  # eq3
       -r^2 + (r - y*(a^2 - a*x - a*x1 + r*y + x*x1)/(a^2 - 2*a*x + x^2 + y^2))^2 + (x1 - (x1*(a^2 - 2*a*x + x^2 + y^2) - y*(a*r - a*y - r*x + x1*y))/(a^2 - 2*a*x + x^2 + y^2))^2,  # eq4
       -r^2 + (r - y*(a^2 - a*x - a*x2 + r*y + x*x2)/(a^2 - 2*a*x + x^2 + y^2))^2 + (x2 - (x2*(a^2 - 2*a*x + x^2 + y^2) - y*(a*r - a*y - r*x + x2*y))/(a^2 - 2*a*x + x^2 + y^2))^2,  # eq5
       -r^2 + (r - y*(r*y + x*x1)/(x^2 + y^2))^2 + (-x*(r*y + x*x1)/(x^2 + y^2) + x1)^2,  # eq6
       -r^2 + (r - y*(r*y + x*x2 - x*大斜 - x2*大斜 + 大斜^2)/(x^2 - 2*x*大斜 + y^2 + 大斜^2))^2 + (x2 - (x2*(x^2 - 2*x*大斜 + y^2 + 大斜^2) + y*(r*x - r*大斜 - x2*y + y*大斜))/(x^2 - 2*x*大斜 + y^2 + 大斜^2))^2,  # eq7
   ]
end;

(中斜, 小斜, 界斜) = (11, 6, 4)
iniv = [big"14.0", 1.5, 10, 10.2, 4, 7.5, 11]
res = nls(H, ini=iniv);
println(res);
   (BigFloat[14.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999989878381102949411463, 1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176727771489368647748441, 8.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999912693616410060723697, 10.33333333333333333333333333333333333333333333333333333333329944227882266388349, 3.771236166328253463471169931225861542852458334338528195137946162035145601912081, 7.999999999999999999999999999999999999999999999999999999999882812339426680153511, 10.99999999999999999999999999999999999999999999999999999999998515232648292937302], true)

中斜, 小斜, 界斜 がそれぞれ 11, 6, 4 寸のとき，
大斜 = 15;  r = 1.41421;  a = 9;  x = 10.3333;  y = 3.77124;  x1 = 8;  x2 = 11 である。
算額の術では 大斜 = sqrt((中斜 + 小斜)^2 - 4界斜^2) となっており，正しい答えが求まっていることがわかる。

(中斜, 小斜, 界斜) = (11, 6, 4)
sqrt((中斜 + 小斜)^2 - 4界斜^2)

   15.0

using Plots

function draw(more=false)
   pyplot(size=(500, 500), grid=false, aspectratio=1, label="", fontfamily="IPAMincho")
   (中斜, 小斜, 界斜) = (11, 6, 4)
   (大斜, r, a, x, y, x1, x2) = res[1]
   @printf("大斜 = %g;  r = %g;  a = %g;  x = %g;  y = %g;  x1 = %g;  x2 = %g\n", 大斜, r, a, x, y, x1, x2)
   plot([0, 大斜, x, 0], [0, 0, y, 0], color=:black, lw=0.5)
   circle(x1, r, r)
   circle(x2, r, r)
   segment(a, 0, x, y, :blue)
   if more
       delta = (fontheight = (ylims()[2]- ylims()[1]) / 500 * 10 * 2) /  3  # size[2] * fontsize * 2
       point(大斜, 0, " 大斜", :black, :left, :bottom, delta=delta)
       point(x, y, " (x,y)", :black, :left, :vcenter, delta=-delta)
       point(x1, r, "(x1,r)", :red, :center, delta=-delta)
       point(x2, r, "(x2,r)", :red, :center, delta=-delta)
       point(a, 0, " a", :black, :left, :bottom, delta=delta)
       point(x/2, 2y/3, "中斜  ", :black, :left, delta=3delta, mark=false)
       point((大斜 + x)/2, 2y/3, "小斜", :black, :left, mark=false)
       point((a + x)/2, 4y/5, "  界斜", :blue, :right, mark=false)
       vline!([0], color=:black, lw=0.5)
       hline!([0], color=:black, lw=0.5)
       #plot!(xlims=(0, 350))
   else
       plot!(showaxis=false)
   end
end;